Question

Помогите пожалуйста lim sin5x/tg2x x-0

Answer 1

Ответ:

2,5

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin5x}{\tan2x}= \lim_{x\to0} \frac{5x*\sin5x}{5x*\tan2x}=\lim_{x\to0} \frac{\sin5x}{5x}*\frac{5x}{\tan2x} =$

По замечательному пределу

$\lim_{t \to0} \frac{\sin t}{t} =1$

получаем

$\lim_{x\to0} 1*\frac{5x}{\tan2x} =\lim_{x\to0}\frac{5x}{\tan2x}= \lim_{x\to0}\frac{5x}{\frac{\sin2x}{\cos 2x}}=\lim_{x\to0}\frac{5x\cos 2x}{\sin2x}=$

Подставим в косинус аргумент 0 (ведь х стремится к 0) , так как в этом множителе нет неопределенности.

$=\lim_{x\to0}\frac{5x\cos (2*0)}{\sin2x}=\lim_{x\to0}\frac{5x*1}{\sin2x}=\lim_{x\to0}\frac{5x}{\sin2x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{5x}{2x}}{\frac{\sin2x}{2x}}=$

Снова по замечательному пределу получаем, что  знаменатель стремится к 1.

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{5x}{2x}}{1}=\lim_{x\to0}\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}=2,5$

Answer 2

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

$lim \frac{sinx}{tg2x} = lim \: sinx \div \frac{sin2x}{cos2x} = lim \: sin2x \div \frac{2 \times sin2x}{cos2x} = lim \: \frac{2}{cos2x} = lim \frac{2}{cos2 \times 0} = lim \frac{2}{cos0} = \frac{2}{1} = 2$

Примечание !

Везде x стремится к 0 !!!

Answer 3

Конечно, рассмотрим данное выражение:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(5x)}}{{\tan(2x) + x}}\]

Для нахождения данного предела можно воспользоваться правилом Лопиталя, если предел принимает одну из индетерминированных форм, например, \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \).

Для начала, посмотрим на индетерминированность предела:

Подставим \( x = 0 \) в выражение \( \tan(2x) + x \): \[ \tan(2 \cdot 0) + 0 = \tan(0) + 0 = 0 + 0 = 0 \]

Это говорит о том, что у нас получается \( \frac{0}{0} \), что является формой, подходящей для применения правила Лопиталя.

Производная синуса \(\sin(5x)\) равна \(5\cos(5x)\), а производная тангенса \(\tan(2x)\) равна \(2\sec^2(2x)\). Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{5\cos(5x)}}{{2\sec^2(2x) + 1}} \]

Теперь подставим \( x = 0 \) в полученное выражение:

\[ \frac{{5\cos(0)}}{{2\sec^2(0) + 1}} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1^2 + 1} = \frac{5}{2 + 1} = \frac{5}{3} \]

Таким образом, предел данной функции при \( x \to 0 \) равен \(\frac{5}{3}\).