Question

У Игоря есть игрушечные солдатики. Если он построит их в шеренги по три, то останется два лишних солдатика. Если он построит их в шеренги по четыре, то останется три лишних солдатика. Сколько солдатиков останется,если Игорь построит их в шеренги по двенадцать? С решением

Answer 1

Пусть при построении в шеренги по двенадцать осталось m лишних солдатиков и получилось n шеренг
Тогда солдатиков 12n + m
При построении этих же солдатиков в шеренги по четыре остаётся три лишних ⇒ остаток от деления  12n + m на 4 = 3 ⇒  m = {3, 7 , 11}

рассмотрим теперьтеперь остатов при делении 12n + m на 3
1. m = 3, то общее число солдатиков 12n + 3 и остаток 0

2. m = 7, то общее число солдатиков 12n + 7 и остаток 1

3. m = 11, то общее число солдатиков 12n + 11 и остаток 2, как в задаче осталось 2 лишних солдатиков
ответ m = 11 лишних солдатиков

Answer 2

Пусть количество солдатиков, которое имеет Игорь, равно Х.

Если он построит их в шеренги по трое, то останется два лишних солдатика. Это значит, что Х должно быть на два больше кратным трём:

Х = 3К + 2 (1)

Если он построит их в шеренги по четверо, то останется три лишних солдатика. Это значит, что Х должно быть на три больше кратным четырем:

Х = 4М + 3 (2)

Теперь найдем общее решение системы уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся китайской теоремой об остатках.

Выразим К и М через Х:

К = (Х - 2)/3 М = (Х - 3)/4

Так как Х - 2 и Х - 3 должны быть кратными 3 и 4 соответственно, то их общий наименьший общий кратный должен быть равен X - 2.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4:

НОК(3, 4) = (3 * 4) / НОД(3, 4) = 12 / 1 = 12

Теперь найдем Х - 2, кратное 12:

Х - 2 = 12N, где N - целое число.

Х = 12N + 2

Игорь имеет Х солдатиков, поэтому Х должно быть больше или равно 12. Подставим Х = 12 и найдем N:

12 = 12N + 2 12N = 10 N = 10/12 = 5/6

Так как N не является целым числом, то Х = 12 не подходит.

Подставим Х = 24 и найдем N:

24 = 12N + 2 12N = 22 N = 22/12 = 11/6

Также N не является целым числом, поэтому Х = 24 не подходит.

Подставим Х = 36 и найдем N:

36 = 12N + 2 12N = 34 N = 34/12 = 17/6

Снова N не является целым числом, поэтому Х = 36 не подходит.

Подставим Х = 48 и найдем N:

48 = 12N + 2 12N = 46 N = 46/12 = 23/6

И снова N не является целым числом, поэтому Х = 48 не подходит.

Мы видим, что ни одно из чисел Х = 12, Х = 24, Х = 36, Х = 48 не подходит.

Значит, нет целочисленного решения системе уравнений (1) и (2).

Следовательно, невозможно определить, сколько солдатиков останется, если Игорь построит их в шеренги по двенадцать.