Question

Інтеграл від 1 до 2 (1/х^2) dx

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо цей інтеграл покроково.

Інтеграл, який ви надали, має вигляд:

\[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx \]

Щоб обчислити цей інтеграл, розглянемо стандартний вигляд функції \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) на відрізку [1, 2]. Зверніть увагу, що функція \(f(x)\) визначена для всіх дійсних \(x\), окрім \(x = 0\).

Зауважте також, що функція \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) може бути переписана у вигляді \(f(x) = x^{-2}\).

Тепер використовуючи властивості інтегралів, ми можемо обчислити даний інтеграл:

\[ \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx \]

Знаючи відому формулу для інтегралу \( \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), де \(C\) - константа інтегрування, можемо застосувати це до нашого інтегралу:

\[ \int x^{-2} \,dx = -\frac{1}{x} + C \]

Тепер, щоб знайти визначений інтеграл від 1 до 2, підставимо верхню та нижню межі:

\[ \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{2} \]

Підставляємо верхню межу:

\[ -\frac{1}{2} \]

Підставляємо нижню межу:

\[ -\frac{1}{1} \]

Тепер обчислимо різницю:

\[ -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \]

Отже, \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \frac{1}{2} \]