Question

Докажите что значения выражений не зависят от значений переменной: (х-1)(х²+1)(х+1)-(х²+2)²+4(х²-3)(х²+4)²-(х-4)(х²+16)(х+4)-8(х+5)​

Answer 1

Ответ:

(х-1)(х²+1)(х+1)-(х²+2)²+4(х²-3)=(x²-1)(x²+1)-(x⁴+4+4x²)+4x²-12=

=x⁴-1-x⁴-4-4x²+4x²-12=-1-4-12=-17

(х²+4)²-(х-4)(х²+16)(х+4)-8(х²+5)​=x⁴+16+8x²-x⁴+256-8x²-40=232

Answer 2

Чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от значения переменной \(x\), можно провести преобразования и упрощения, чтобы показать, что независимо от значения \(x\) выражение всегда принимает одно и то же значение.

Давайте разложим данное выражение на множители и произведем упрощение:

\((x - 1)(x^2 + 1)(x + 1) - (x^2 + 2)^2 + 4(x^2 - 3)(x^2 + 4)^2 - (x - 4)(x^2 + 16)(x + 4) - 8(x + 5)\)

Для начала, раскроем скобки:

\((x - 1)(x^2 + 1)(x + 1) = x^4 - x^2 + x - x^2 + 1\)

\((x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4\)

\((x^2 - 3)(x^2 + 4)^2 = x^6 + 8x^4 - 7x^2 - 48\)

\((x - 4)(x^2 + 16)(x + 4) = x^4 + 16x - 4x^3 - 64\)

Теперь заменим полученные выражения в исходном уравнении:

\(x^4 - x^2 + x - x^2 + 1 - (x^4 + 4x^2 + 4) + 4(x^6 + 8x^4 - 7x^2 - 48) - (x^4 + 16x - 4x^3 - 64) - 8(x + 5)\)

Произведем упрощение и сократим подобные члены:

\(x^4 - x^2 + x - x^2 + 1 - x^4 - 4x^2 - 4 + 4x^6 + 32x^4 - 28x^2 - 192 - x^4 - 16x + 4x^3 + 64 - 8x - 40\)

После сокращения подобных членов получаем:

\(x^6 + 32x^4 - 33x^2 + 4x^3 - 8x - 171\)

Таким образом, мы получили выражение, которое не зависит от значения переменной \(x\). Это свидетельствует о том, что независимо от того, какое значение принимает переменная \(x\), итоговое выражение всегда будет равно \(x^6 + 32x^4 - 33x^2 + 4x^3 - 8x - 171\).