Question

Решите уравнение: cosx-2cos 3x+cos5x=0

Answer 1

Ответ:

$\cos(x) - 2 \cos(3x) + \cos(5x) = 0 \\ 2 \cos(3x) \cos( - 2x) - 2 \cos(3x) = 0 \\ 2 \cos(3x) \times ( \cos( - 2x) - 1) = 0 \\ \cos(3x) \times ( \cos(2x) - 1) = 0 \\ \cos(3x) = 0 \\ \cos(2x) - 1 = 0 \\ x = {30}^{o} + {60}^{o} k \\ x = {180}^{o} k$

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам. У нас есть уравнение:

\[ \cos(x) - 2\cos(3x) + \cos(5x) = 0 \]

1. Заменим \(\cos(3x)\) и \(\cos(5x)\) через формулы сложения косинуса:

\[ \cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x) \] \[ \cos(5x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) \]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ \cos(x) - 2(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + (16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x)) = 0 \]

2. Упростим уравнение, объединив подобные члены:

\[ \cos(x) - 8\cos^3(x) + 6\cos(x) + 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) = 0 \]

3. Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[ 16\cos^5(x) - 28\cos^3(x) + 12\cos(x) = 0 \]

4. Разделим уравнение на \(4\cos(x)\), чтобы упростить его:

\[ 4\cos^4(x) - 7\cos^2(x) + 3 = 0 \]

Теперь давайте введем замену. Пусть \(y = \cos^2(x)\), тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 - 7y + 3 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение для \(y\):

\[ (4y - 3)(y - 1) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \(y\):

\[ y_1 = \frac{3}{4} \] \[ y_2 = 1 \]

6. Теперь подставим обратно \(\cos^2(x)\):

Для \(y_1\):

\[ \cos^2(x) = \frac{3}{4} \]

Из этого следует, что \(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, у нас есть два решения для \(y_1\).

Для \(y_2\):

\[ \cos^2(x) = 1 \]

Это дает \(\cos(x) = \pm 1\), что также дает два решения.

Таким образом, уравнение \(\cos(x) - 2\cos(3x) + \cos(5x) = 0\) имеет четыре решения:

\[ \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1 \]