Question

Решить уравнения 1)cos2x+cosx=0 2)корень из 2sin(x/2)+1=cosx 3)3sinx-2cos^2x=0 4)cos2x+sinx=0 5)корень из 2cos(x/2)+1=cosx

Answer 1

1) cos2x+cosx=0
2cos^2x-1+cosx=0
2cos^2x+cosx-1=0
Пусть t=cosx, где t€[-1;1], тогда
2t^2+t-1=0
D=1+8=9
t1=-1-3/4=-1
t2=-1+3/4=1/2
вернемся к замене
cosx=-1
x=Π+2Πn, n€Z
cosx=1/2
x=+-Π/3+2Πm, m€Z
3) 3sinx-2(1-sin^2x)=0
3sinx+2sin^2x-2=0
2sin^2x+3sinx-2=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
2t^2+3t-2=0
D=9+16=25
t1=-3-5/4=-2 посторонний
t2=-3+5/4=1/2
вернёмся к замене
sinx=1/2
x1=Π/6+2Πn, n€Z
x2=5Π/6+2Πk, k€Z
4) 1-2sin^2x+sinx=0
-2sin^2x+sinx+1=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда
-2t^2+t+1=0
D=1+8=9
t1=-1-3/-4=1
t2=-1+3/-4=2/-4=-1/2
Вернёмся к замене
sinx=1
x1=Π/2+2Πn, n€Z
sinx=-1/2
x2=-5Π/6+2Πk, k€Z
x3=-Π/6+2Πm, m€Z

Answer 2

Решение уравнений:

1) Уравнение: cos(2x) + cos(x) = 0

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. Давайте преобразуем уравнение:

cos(2x) + cos(x) = 0 2cos^2(x) - 1 + cos(x) = 0 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Теперь давайте заменим cos(x) = t:

2t^2 + t - 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение для переменной t. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + sqrt(9)) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - sqrt(9)) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь давайте заменим обратно t на cos(x) и решим уравнение:

cos(x) = 1 x = 2πn, где n - целое число

cos(x) = -1/2 x = π + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения cos(2x) + cos(x) = 0 это: x = 2πn, где n - целое число x = π + 2πn, где n - целое число

2) Уравнение: √2sin(x/2) + 1 = cos(x)

Для решения данного уравнения, мы также можем использовать тригонометрические тождества. Давайте преобразуем уравнение:

√2sin(x/2) + 1 = cos(x) √2sin(x/2) + cos(x) - 1 = 0

Давайте заменим sin(x/2) = t:

√2t + cos(2t) - 1 = 0

Мы получили уравнение для переменной t. Решим его с помощью метода итераций:

Начнем с некоторого начального значения t0 и используем итерационную формулу: t_(n+1) = t_n - f(t_n) / f'(t_n)

Продолжим итерации до достижения достаточно точного значения.

3) Уравнение: 3sin(x) - 2cos^2(x) = 0

Давайте преобразуем уравнение:

3sin(x) - 2cos^2(x) = 0 3sin(x) = 2cos^2(x) 3tan(x) = 2

Теперь возьмем тангенс от обеих частей уравнения:

tan(x) = 2/3

Решение можно найти, используя обратные тригонометрические функции. Тангенс имеет период π, поэтому решение будет иметь вид: x = arctan(2/3) + kπ, где k - целое число

4) Уравнение: cos(2x) + sin(x) = 0

Давайте преобразуем уравнение:

cos(2x) + sin(x) = 0 1 - 2sin^2(x) + sin(x) = 0 2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Теперь давайте заменим sin(x) = t:

2t^2 - t - 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение для переменной t. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (1 + sqrt(9)) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (1 - sqrt(9)) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь давайте заменим обратно t на sin(x) и решим уравнение:

sin(x) = 1 x = π/2 + 2πn, где n - целое число

sin(x) = -1/2 x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения cos(2x) + sin(x) = 0 это: x = π/2 + 2πn, где n - целое число x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число

5) Уравнение: √2cos(x/2) + 1 = cos(x)

Для решения данного уравнения, также используем тригонометрические тождества. Давайте преобразуем уравнение:

√2cos(x/2) + 1 = cos(x) √2cos(x/2) - cos(x) + 1 = 0

Давайте заменим cos(x/2) = t:

√2t - 2t^2 + 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение для переменной t. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * √2 * 1 = 4 - 4√2

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет рациональных решений. Мы можем найти приближенные решения с помощью численных методов, таких как метод Ньютона или метод половинного деления.