Question

Доказать закон Де-Моргана.​

Answer 1

Ответ:

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства. Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Закон Де Моргана

Закон Де Моргана - это математическое правило, которое устанавливает связь между операциями логического И (AND) и логического ИЛИ (OR) при отрицании. Закон Де Моргана позволяет выразить отрицание сложного выражения через отрицания его составляющих.

Существует два основных варианта закона Де Моргана:

1. Первый вариант закона Де Моргана: Отрицание конъюнкции (логического И) равно дизъюнкции (логического ИЛИ) отрицаний:

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

Это означает, что отрицание конъюнкции двух высказываний равно дизъюнкции отрицаний каждого из этих высказываний.

2. Второй вариант закона Де Моргана: Отрицание дизъюнкции (логического ИЛИ) равно конъюнкции (логического И) отрицаний:

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Это означает, что отрицание дизъюнкции двух высказываний равно конъюнкции отрицаний каждого из этих высказываний.

Закон Де Моргана может быть полезен при упрощении логических выражений и при доказательстве эквивалентности различных логических выражений.

Доказательство закона Де Моргана

Докажем первый вариант закона Де Моргана: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

Для доказательства этого закона, рассмотрим таблицу истинности для выражений A, B, ¬A, ¬B, A ∧ B и ¬(A ∧ B):

| A | B | ¬A | ¬B | A ∧ B | ¬(A ∧ B) | |---|---|----|----|-------|----------| | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |

Из таблицы истинности видно, что значения столбца ¬(A ∧ B) совпадают со значениями столбца ¬A ∨ ¬B. Это означает, что выражения ¬(A ∧ B) и ¬A ∨ ¬B эквивалентны и имеют одинаковые значения истинности для всех возможных комбинаций значений A и B.

Таким образом, мы доказали первый вариант закона Де Моргана: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.

Аналогично можно доказать второй вариант закона Де Моргана: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.

Примеры применения закона Де Моргана

Применение закона Де Моргана может быть полезно при упрощении логических выражений. Например, рассмотрим следующее выражение:

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Если мы хотим упростить это выражение, мы можем применить закон Де Моргана и получить:

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Таким образом, мы можем заменить сложное выражение ¬(A ∨ B) на эквивалентное, но более простое выражение ¬A ∧ ¬B.

Заключение

Закон Де Моргана - это важное математическое правило, которое позволяет выразить отрицание сложного выражения через отрицания его составляющих. Закон Де Моргана имеет два варианта: отрицание конъюнкции и отрицание дизъюнкции. Этот закон может быть полезен при упрощении логических выражений и при доказательстве эквивалентности различных логических выражений.