Question

обчислити об'єм тіла утвореного обертанням навколо осі х фігури, обмеженої дугою кола х² + y² = 16, яка лежить у першій чверті, та прямими x = 1, x = 3, y = 0

Answer 1

Дано фігуру, обмежену дугою кола \(x^2 + y^2 = 16\) у першій чверті та прямими \(x = 1\), \(x = 3\), \(y = 0\). Ця фігура симетрична відносно обох координатних вісей, оскільки це коло з центром в початку координат.

Перше, знайдемо область, обмежену цими кривими. Вона складається з частини кола між \(x = 1\) та \(x = 3\), а також частини осьової вісі \(y = 0\) між цими двома вертикалями.

Знаходимо точки перетину кола з прямими \(x = 1\) і \(x = 3\):

Підставимо \(x = 1\) у рівняння кола \(x^2 + y^2 = 16\):

\[1 + y^2 = 16\] \[y^2 = 15\] \[y = \sqrt{15}\] (позитивне значення для першої чверті)

Отже, точка перетину кола з \(x = 1\) - \((1, \sqrt{15})\).

Тепер підставимо \(x = 3\) у рівняння кола \(x^2 + y^2 = 16\):

\[9 + y^2 = 16\] \[y^2 = 7\] \[y = \sqrt{7}\] (позитивне значення для першої чверті)

Точка перетину кола з \(x = 3\) - \((3, \sqrt{7})\).

Отже, ми знайшли точки перетину кола з прямими \(x = 1\) і \(x = 3\): \((1, \sqrt{15})\) і \((3, \sqrt{7})\).

Тепер ми маємо знайти об'єм тіла, яке утворюється обертанням цієї області навколо вісі \(x\).

Об'єм цього тіла можна обчислити за допомогою інтегралу обертання (метод кільцевих областей).

Формула для об'єму оберненого тіла, утвореного обертанням області між функціями \(y = f(x)\) та \(y = g(x)\) навколо вісі \(x\) на відрізку \([a, b]\), заданою умовою \(g(x) \leq f(x)\), виглядає так:

\[V = \pi \int_a^b [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx\]

У нашому випадку \(f(x)\) - це верхня границя кривої (кола), а \(g(x)\) - нижня границя (ось \(x\)).

Таким чином, об'єм \(V\) може бути обчислений як:

\[V = \pi \int_1^3 (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 \, dx\]

\[V = \pi \int_1^3 (15 - 7) \, dx\]

\[V = \pi \int_1^3 8 \, dx\]

\[V = 8\pi \int_1^3 dx\]

\[V = 8\pi \cdot (3 - 1)\]

\[V = 16\pi\]

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням вказаної області навколо вісі \(x\), дорівнює \(16\pi\) кубічних одиниць.