Question

Задані координати двох суміжних вершин паралелограма А(2,3,0), В(-1,0,4) та точки перетину діагоналей М(1,-1,1). Обчислити координати двох решти його вершин

Answer 1

Для того чтобы найти координати інших двох вершин паралелограма, спочатку визначимо вектори, які вказують на його сторони. Вектор AB буде напрямленим від точки A до точки B, а вектор AM буде напрямленим від точки A до точки M. Враховуючи це, можемо використовувати властивості паралелограма для знаходження інших вершин.

1. Знайдемо вектори AB та AM: \[ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} -1 - 2 \\ 0 - 3 \\ 4 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} \]

\[ \overrightarrow{AM} = \begin{bmatrix} 1 - 2 \\ -1 - 3 \\ 1 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} \]

2. Тепер знаємо, що вектори, які вказують на суміжні сторони паралелограма, є протилежними один одному. Таким чином, вектор, який вказує на сторону BC, буде протилежним вектору AB: \[ \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} = -\begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} \]

Також вектор, який вказує на сторону CD (де C - протилежна точка до B), буде протилежним вектору AM: \[ \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AM} = -\begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} \]

3. Тепер ми можемо знайти координати вершин C і D, використовуючи вектори BC та CD та вихідні координати точки B: \[ C = B + \overrightarrow{BC} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ D = B + \overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Таким чином, координати вершин C та D паралелограма будуть відповідно \([2, 3, 0]\) і \([0, 4, 3]\).