Question

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, навколо осі Ox, обмеженої кривими: 2y = x^2 2x + 2y - 3 = 0

Answer 1

Спочатку ми маємо знайти точки перетину кривих:

2y = x^2

2x + 2y - 3 = 0

З першого рівняння ми можемо виразити y:

y = x^2/2

Підставляючи це у друге рівняння, маємо:

2x + x^2 - 3 = 0

Розв'язуючи це квадратне рівняння, ми отримуємо дві корені:

x = -3 або x = 1

Тепер ми можемо знайти відповідні значення y:

Для x = -3: y = (-3)^2/2 = 9/2

Для x = 1: y = 1^2/2 = 1/2

Тому ми маємо дві точки перетину кривих: (-3, 9/2) та (1, 1/2).

Щоб знайти об'єм тіла, яке утворюється обертанням фігури навколо осі Ox, ми можемо використовувати формулу об'єму циліндра:

V = ∫[a, b] A(x) dx

де A(x) - це площа поперечного перерізу циліндра в точці x, a та b - це границі інтегрування.

У цьому випадку, поперечний переріз циліндра - це круг з радіусом, який дорівнює значенню y відповідної точки перетину кривих.

Таким чином, ми можемо записати:

V = ∫[-3, 1] πy^2 dx

Оскільки ми виразили y через x, то ми можемо записати:

V = ∫[-3, 1] π(x^2/2)^2 dx

V = ∫[-3, 1] πx^4/4 dx

V = π/4 ∫[-3, 1] x^4 dx

V = π/4 [(1/5)x^5]_[-3,1]

V = π/4 [(1/5)(1^5 - (-3)^5)]

V = π/4 [(1/5)(244)]

V = 61π/5

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, становить 61π/5.

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі Ox, можна скористатись формулою об'єму обертового тіла за обмежувальною кривою:

V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx,

де f(x) - функція, що задає верхню межу фігури, а [a, b] - інтервал, на якому визначена функція f(x).

У даному випадку ми маємо дві криві: 2y = x^2 та 2x + 2y - 3 = 0.

Для знаходження інтервалу [a, b] потрібно знайти точки перетину цих кривих. Розв'яжемо систему рівнянь:

2y = x^2, 2x + 2y - 3 = 0.

Підставляючи перше рівняння у друге, отримаємо:

2x + 2(x^2/2) - 3 = 0, 2x + x^2 - 3 = 0.

Розкриваємо дужки та прирівнюємо рівняння до нуля:

x^2 + 2x - 3 = 0.

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або факторизації. Застосуємо факторизацію:

(x + 3)(x - 1) = 0.

З цього рівняння отримуємо дві корені: x = -3 та x = 1.

Таким чином, інтервал [a, b] для обчислення об'єму буде [-3, 1].

Знайдемо функцію f(x), яка задає верхню межу фігури. Маємо дві криві:

1. 2y = x^2, y = (1/2)x^2.

2. 2x + 2y - 3 = 0, y = (3 - 2x)/2.

Для знаходження верхньої межі фігури, оберненої навколо осі Ox, ми вибираємо максимум з цих двох функцій. Тобто:

f(x) = max((1/2)x^2, (3 - 2x)/2).

Тепер можна обчислити об'єм за формулою:

V = π∫[-3, 1] (f(x))^