Question

Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 13 см, один из углов равен 135°. Найдите площадь трапеции!

Answer 1

ВК⊥АD; СМ⊥АD; ВСМК-прямоугольник; ВС=КМ=8 см.

ΔАВК=ΔDСМ; АК=МD=3 см.

ΔАВК- равнобедренный прямоугольный. АК=ВК=3 см

Определим площадь трапеции

S=((ВС+АD)2)·ВК=3·(8+13)/2=30 см².

ответ: 30 см².

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства равнобедренной трапеции и знание формулы для вычисления площади трапеции.

1. В равнобедренной трапеции основания (более длинная и более короткая стороны) параллельны, а боковые стороны (называемые боковыми основаниями) равны между собой. 2. Углы при основаниях равнобедренной трапеции также равны.

Дано: Длина большего основания (AB) = 13 см Длина меньшего основания (CD) = 8 см Угол при меньшем основании = 135°

Площадь равнобедренной трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции.

Для того чтобы найти высоту, можно разделить трапецию на два равнобедренных треугольника, проведя высоту из вершины (угла) до основания (большего основания). Эта высота будет разделять трапецию на два прямоугольных треугольника.

Так как трапеция равнобедренная, то и высота, проведенная из вершины, будет делить трапецию на два равнобедренных треугольника.

Найдем высоту трапеции с помощью тригонометрии.

Возьмем половину меньшего основания в качестве катета и высоту в качестве противолежащего катета. Таким образом, мы можем использовать тангенс угла \(135^\circ\):

\[ \tan(135^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

\[ \tan(135^\circ) = \frac{h}{\frac{8}{2}} \] \[ \tan(135^\circ) = \frac{h}{4} \]

Так как \(\tan(135^\circ) = -1\) (тангенс угла 135°), то получаем:

\[ -1 = \frac{h}{4} \] \[ h = -4 \]

Значение получилось отрицательным, что не соответствует реальной длине. Это означает, что мы должны рассмотреть угол в его смежной позиции (дополнении до 180°), который равен \(45^\circ\), чтобы использовать положительное значение.

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{4} \] \[ h = 4 \cdot \tan(45^\circ) \] \[ h = 4 \cdot 1 = 4 \]

Теперь мы знаем, что высота трапеции \(h = 4\) см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{(13 + 8) \cdot 4}{2} \] \[ S = \frac{21 \cdot 4}{2} \] \[ S = \frac{84}{2} \] \[ S = 42 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь равнобедренной трапеции равна \(42 \, \text{см}^2\).