Question

1)Дано: tg alpha=4/3, 0<alpha<П/2. Найдите синус альфа. 2) Докажите тождество 1+cos2alpha=2cos^2alpha​

Answer 1

1) Найдите синус альфа, если tg(alpha) = 4/3, 0 < alpha < П/2.

Для решения этой задачи, мы можем использовать основные определения и свойства тригонометрических функций. Дано, что tg(alpha) = 4/3.

Мы знаем, что tg(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha). Подставим это значение в выражение и получим:

sin(alpha)/cos(alpha) = 4/3

Умножим обе части уравнения на cos(alpha):

sin(alpha) = (4/3) * cos(alpha)

Теперь мы знаем, что sin(alpha) равно (4/3) * cos(alpha). Для дальнейшего решения задачи, нам нужно использовать третье тригонометрическое тождество:

sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1

Подставим значение sin(alpha) в это тождество:

(4/3 * cos(alpha))^2 + cos^2(alpha) = 1

Упростим это уравнение:

(16/9 * cos^2(alpha)) + cos^2(alpha) = 1

(16/9 + 1) * cos^2(alpha) = 1

(25/9) * cos^2(alpha) = 1

cos^2(alpha) = 9/25

cos(alpha) = √(9/25) = 3/5

Теперь мы можем найти значение sin(alpha) с использованием первоначального уравнения:

sin(alpha) = (4/3) * cos(alpha) = (4/3) * (3/5) = 4/5

Таким образом, синус альфа равен 4/5.

2) Докажите тождество 1 + cos(2alpha) = 2 * cos^2(alpha).

Для доказательства этого тождества, мы будем использовать тригонометрические формулы и свойства.

По формуле двойного угла, cos(2alpha) = cos^2(alpha) - sin^2(alpha).

Подставим это значение в левую часть тождества и получим:

1 + cos^2(alpha) - sin^2(alpha) = 2 * cos^2(alpha)

Теперь, мы можем использовать третье тригонометрическое тождество sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.

Подставим это значение в уравнение и получим:

1 + cos^2(alpha) - (1 - cos^2(alpha)) = 2 * cos^2(alpha)

1 + cos^2(alpha) - 1 + cos^2(alpha) = 2 * cos^2(alpha)

2 * cos^2(alpha) = 2 * cos^2(alpha)

Таким образом, левая и правая части тождества равны, что доказывает его верность.