Question

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y=x^3-3x^2-9x+7

Answer 1

Ответ:

y=x^3-3x^2-9x+7

берём первую производную

y'=3x²-6x-9;

приравниваем к нулю и находим корни уравнения

3x²-6x-9=0;

x²-2x-3=0;

x1=3;

x2=-1;

Это точки экстремумов

Берём вторую производную функции в этих точках

y''=6x-6;

y''(3)=6*3-6;

y''(3)=12; значение больше нуля, значит точка x=3 это минимум данной функции

y''(-1)=6*(-1)-6;

y''(-1)=-12; значение меньше нуля, значит точка x=-1 это максимум данной функции

получаем, что исходная функция:

возрастает от -∞ до -1

убывает от -1 до 3

возрастает от 3 до +∞

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности и точки экстремума функции \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 \), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Найдем производную данной функции \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 \):

\[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9 \]

Шаг 2: Найти точки, где производная равна нулю

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение \( y' = 0 \):

\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]

Разделим обе стороны на 3:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 3 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Анализ знаков производной в интервалах между найденными корнями

Теперь мы должны проанализировать знаки производной \( y' = 3x^2 - 6x - 9 \) в интервалах между найденными корнями (-бесконечность, -1), (-1, 3), и (3, +бесконечность).

Подставим значения \( x \) в производную:

- При \( x = -2 \): \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 \) (положительное число) - При \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 \) (отрицательное число) - При \( x = 4 \): \( y'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 \) (положительное число)

Шаг 4: Определение интервалов монотонности и точек экстремума

- Между \( x = -\infty \) и \( x = -1 \): \( y' > 0 \) (положительная производная), функция возрастает. - Между \( x = -1 \) и \( x = 3 \): \( y' < 0 \) (отрицательная производная), функция убывает. - Между \( x = 3 \) и \( x = +\infty \): \( y' > 0 \) (положительная производная), функция возрастает.

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:

- При \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7 = -1 - 3 + 9 + 7 = 12 \) - При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = -20 \)

Ответ:

Интервалы монотонности: - Убывает на интервале \((- \infty, -1)\) - Возрастает на интервалах \((-1, 3)\) и \((3, +\infty)\)

Точки экстремума: - Максимум в точке \((-1, 12)\) - Минимум в точке \((3, -20)\)