Question

Розвязати рівняння 1) sin 2x + sin 6x= cos 2x 2) 5cos*2 x + sin 6x -6=0 3) 2cos*2 x - sin x cos x + 5sin*2 x =3

Answer 1

Ответ:

π/4 + πk/2; π/24 + πk/2; 5π/24 + πk/2, k ∈ Z.

Пошаговое объяснение:

. Преобразуем сумму синусов по тригонометрической формуле:

      sina + sinb = 2sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2);

sin2x + sin6x = cos2x;2sin((6x + 2x)/2) * cos((6x - 2x)/2) = cos2x;2sin4x * cos2x - cos2x = 0.

   2. Вынесем общий множитель cos2x за скобки:

cos2x(2sin4x - 1) = 0;[cos2x = 0;

[2sin4x - 1 = 0;[cos2x = 0;

[2sin4x = 1;[cos2x = 0;

[sin4x = 1/2;[2x = π/2 + πk, k ∈ Z;

[4x = π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z;[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z;

[x = π/24 + πk/2; 5π/24 + πk/2, k ∈ Z.

   Ответ: π/4 + πk/2; π/24 + πk/2; 5π/24 + πk/2, k ∈ Z.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне з рівнянь окремо:

1) \( \sin(2x) + \sin(6x) = \cos(2x) \)

Для вирішення цього рівняння можна скористатися тригонометричними тотожностями. Використовуючи формулу для суми синусів, ми можемо переписати ліву частину рівняння:

\[ \sin(2x) + \sin(6x) = 2\sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 2\sin(4x)\cos(2x) \]

Отже, рівняння стає:

\[ 2\sin(4x)\cos(2x) = \cos(2x) \]

Тепер поділимо обидві сторони на \( \cos(2x) \) (припускаючи, що \( \cos(2x) \neq 0 \), щоб уникнути ділення на нуль):

\[ 2\sin(4x) = 1 \]

Тепер розділимо обидві сторони на 2:

\[ \sin(4x) = \frac{1}{2} \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо два можливих значення для \( x \). Зазвичай ми шукаємо розв'язки в інтервалі \([0, 2\pi)\) або \([0^\circ, 360^\circ)\), оскільки синус періодична функція і має багато розв'язків. Знаючи, що \(\sin(30^\circ) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), отримуємо:

\[ 4x = 30^\circ + 360^\circ k \]

де \( k \) - це ціле число. Розв'язавши це рівняння для \( x \), ми отримаємо різні значення \( x \).

2) \( 5\cos^2(x) + \sin(6x) - 6 = 0 \)

Це квадратне рівняння відносно \( \cos^2(x) \). Позначимо \( \cos^2(x) \) за \( t \), тоді рівняння буде виглядати:

\[ 5t + \sin(6x) - 6 = 0 \]

Розв'язавши це рівняння відносно \( t \), ми отримаємо значення \( \cos^2(x) \). Пам'ятайте, що \( 0 \leq \cos^2(x) \leq 1 \), тому обираємо тільки ті значення, які задовольняють цій умові.

3) \( 2\cos^2(x) - \sin(x)\cos(x) + 5\sin^2(x) = 3 \)

Це квадратне рівняння відносно \( \cos(x) \) і \( \sin(x) \). Зазвичай такі рівняння розв'язують, використовуючи тригонометричні тотожності, але це може бути складним завданням в даному випадку через змішаний вигляд обох тригонометричних функцій.

Розгляньте ці рівняння, вирішіть їх окремо і знайдіть значення \( x \), які задовольняють всі три рівняння. Зверніть увагу на обмеження значень \( x \) відповідно до вибраного інтервалу.