Question

Нехай Х випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром λ. Знайти розподіл випадкової величини Y= [X] та MY.

Answer 1

Ответ:

$Y=\lfloor X\rfloor\sim Geom(1-e^{-\lambda}); EY=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$

Пошаговое объяснение:

С учетом определения целой части числа, имеем

$P(Y=k)=P(\lfloor X\rfloor=k)=P(k\leq X$

Заметим, что

$P(k+1\leq X|k\leq X)=\dfrac{P(k+1\leq X,k\leq X)}{P(k\leq X)}=[\{k+1\leq X\}\Rightarrow\{k\leq X\}]=\dfrac{P(k+1\leq X)}{P(k\leq X)}=\dfrac{1-P(X$

[К слову, можно доказать и более общую формулу, которая соответствует свойству под названием "отсутствие памяти"]

Возвращаемся к исходным расчетам:

$(*)=e^{-\lambda k}\cdot (1-e^{-\lambda})=(e^{-\lambda })^k\cdot (1-e^{-\lambda})$

Т.к. по определению $\lambda >0$, функция $f(t)=e^{-t}$ неотрицательна и монотонно убывает на $t>0$,  причем $f(0)=1$, то $e^{-\lambda}\in[0;1]$. Но тогда и $1-e^{-\lambda}\in[0;1]$.

Отсюда, нетрудно заметить, наше распределение есть не что иное, как геометрическое распределение с параметром $p=1-e^{-\lambda}$.

Значит, матожидание $EY=\dfrac{1-p}{p}=\dfrac{e^{-\lambda}}{1-e^{-\lambda}}=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$.

Answer 2

Задача передбачає, що маємо випадкову величину \(X\), яка має показниковий розподіл з параметром \(\lambda\). Показниковий розподіл описується щільністю ймовірностей (probability density function - PDF) такою функцією:

\[ f_X(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

Тепер ми хочемо знайти розподіл випадкової величини \(Y = \lfloor X \rfloor\), де \(\lfloor x \rfloor\) - це найбільше ціле число, яке не перевищує \(x\).

Спочатку звернемо увагу на те, як виглядає функція розподілу ймовірностей для \(Y\). Для будь-якого цілого числа \(n\), ймовірність того, що \(Y = n\), дорівнює ймовірності того, що \(n \leq X < n+1\).

\[ P(Y = n) = P(n \leq X < n+1) \]

Тепер, використовуючи функцію розподілу \(X\), ми можемо записати це як:

\[ P(Y = n) = \int_{n}^{n+1} f_X(x;\lambda) \,dx \]

Згідно з заданим показниковим розподілом:

\[ P(Y = n) = \int_{n}^{n+1} \lambda e^{-\lambda x} \,dx \]

Інтегруючи це вираз, ми отримаємо ймовірність того, що \(Y = n\).

Тепер, щоб знайти математичне сподівання \(MY\), ми можемо скористатися визначенням математичного сподівання:

\[ MY = \sum_{n} n \cdot P(Y = n) \]

Отже, ви можете виконати ці кроки для конкретних значень \(n\) або використовувати загальний вираз для математичного сподівання:

\[ MY = \sum_{n} n \cdot \int_{n}^{n+1} \lambda e^{-\lambda x} \,dx \]

Це може бути складним завданням і може знадобитися використання методів обчислення інтегралів для отримання аналітичного виразу або чисельних методів для апроксимації значень.