Question

Випадкова ξ величина має показниковий розподіл з параметром α=2 . Знайти Dξ

Answer 1

Показательным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:

$p(x)=\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~0,~~~ if ~~ x\ \textless \ 0} \atop {\lambda e^{-\lambda x},~~ if~~ x \geq 0}} \right.$

Из условия  $\lambda =2$. Тогда дисперсия случайной величины  $\xi$ будем искать в виде:


$D\xi=M(\xi -M\xi )^2=M\xi^2 -(M\xi)^2$

$M\xi =\displaystyle \int\limits^{+\infty}_0 x p(x)dx=2\int\limits^{+\infty}_0 xe^{-2x}dx= \left\{\begin{array}{ccc}x=u,~~ dx=du\\ dv=e^{-2x}dx,~ v=- \frac{e^{-2x}}{2} \end{array}\right\}= \\ \\ \\ =2\cdot \bigg(- \frac{xe^{-2x}}{2}\bigg|^{+\infty}_0+\int\limits^{+\infty}_0 \frac{e^{-2x}dx}{2} \bigg)=-xe^{-2x}\bigg|^{+\infty}_0- \frac{e^{-2x}}{2} \bigg|^{+\infty}_0=0.5$


$\displaystyle M\xi^2= \int\limits^{+\infty}_0 x^2p(x)dx= 2\int\limits^{+\infty}_0x^2e^{-2x}dx= \left\{\begin{array}{ccc}x^2=u~~2xdx=du\\ e^{-2x}dx=dv,~ v=- \frac{e^{-2x}}{2} \end{array}\right\}\\ \\ =-x^2e^{-2x}\bigg|^{+\infty}_0+ 2\int\limits^{+\infty}_0 xe^{-2x}dx=0.5$


искомая дисперсия:   $D\xi=M\xi^2-(M\xi)^2=0$

Answer 2

Для показникового розподілу з параметром α = 2, функція щільності ймовірності (probability density function, PDF) випадкової величини ξ має вигляд:

f(ξ) = α * exp(-αξ)

де α = 2.

Щоб знайти дисперсію (Dξ) цієї випадкової величини ξ, спочатку знайдемо математичне очікування (μ), а потім використаємо формулу для дисперсії:

Математичне очікування (μ) для показникового розподілу з параметром α: μ = 1 / α

Тепер підставимо значення α = 2: μ = 1 / 2

Дисперсія (Dξ) для показникового розподілу: Dξ = 1 / α^2

Підставимо значення α = 2: Dξ = 1 / 2^2 Dξ = 1 / 4 Dξ = 0.25

Отже, дисперсія випадкової величини ξ з показниковим розподілом і параметром α = 2 дорівнює 0.25.