Question

Найти наименьшее значение выражения: x^2+5y^2+4xy-4y+4 . При каких значениях переменных он его принимает? Помогите, пожалуйста!

Answer 1

$x^2+5y^2+4xy-4y+4=(x^2+4xy+4y^2)+(y^2-4y+4)= \\ =(x+2y)^2+(y-2)^2$
Так как у нас сумма квадратов, то наименьшее возможное значение выражения не меньше 0. 
0 достигается при y=2 и  $x=0-2*2=-4$

Answer 2

X=-4
y=2
наименьшее значение 0

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения выражения $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4$, мы должны найти его критические точки, где частные производные по $x$ и $y$ равны нулю. Затем проверим эти точки на минимумы или максимумы, чтобы найти наименьшее значение.

1. Найдем частные производные по $x$ и $y$: $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4) = 2x + 4y$, $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4) = 10y + 4x - 4$.

2. Равняем каждое выражение нулю и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x + 4y = 0 \quad \quad (1)\\ 10y + 4x - 4 = 0 \quad \quad (2) \end{cases}$$

Можно решить систему уравнений, выразив $x$ и $y$ из уравнений (1) и (2):

Из уравнения (1): $x = -2y$.

Подставим $x$ в уравнение (2):

$10y + 4(-2y) - 4 = 0$

$10y - 8y - 4 = 0$

$2y - 4 = 0$

$2y = 4$

$y = 2$.

Теперь найдем значение $x$:

$x = -2 \cdot 2$

$x = -4$.

Таким образом, критическая точка, в которой выражение может принимать наименьшее значение, это $x = -4$ и $y = 2$.

3. Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим вторые производные в этой точке:

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4) = 2$,

$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4) = 10$,

$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4) = 4$.

Теперь вычислим дискриминант матрицы Гессе:

$D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = 2 \cdot 10 - 4^2 = 20 - 16 = 4$.

Так как $D > 0$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$, то это точка является точкой минимума.

4. Теперь подставим $x = -4$ и $y = 2$ в исходное выражение:

$x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4 = (-4)^2 + 5 \cdot 2^2 + 4 \cdot (-4) \cdot 2 - 4 \cdot 2 + 4 = 16 + 20 - 32 - 8 + 4 = 0$