Question

Функція розподілу випадкової величини & задається формулою: F(x) = 0 х<-1 (х+1)/2 x є (-1;1] 1 x>1 Обчислити моду, медіану, математичне сподівання та дисперсію випадкової величини &

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

У даному випадку, можливі значення випадкової величини & лежать в інтервалі (-1, 1]. Для випадків, коли функція розподілу має ступінчасту форму, як у цьому випадку, модою вважаються значення в точках, де функція розподілу має різкий скачок.

Так як функція розподілу має значення 0 для x < -1, то значення & на цьому інтервалі не враховується. Таким чином, можливі значення випадкової величини лежать в інтервалі (-1, 1], а функція розподілу зростає від 0 до 1. Точка 0 є серединою цього інтервалу, тому модою є 0.
Щоб знайти медіану, потрібно знайти значення x, для якого F(x) = 0.5. За формулою функції розподілу, якщо x належить інтервалу (-1, 1], то F(x) = (x + 1) / 2. Тому, щоб знайти медіану, ми повинні вирішити рівняння:

(x + 1) / 2 = 0.5

x + 1 = 1

x = 0

Таким чином, медіана дорівнює 0.
математичне сподівання:
E(&) = ∫x f(x) dx по всіх значеннях x

E(&) = ∫(-1,1] x (1/2) dx = [x^2/4]_(-1,1] = (1^2/4 - (-1)^2/4) = 1/2.

Тепер знайдемо дисперсію:

Var(&) = E((& - E(&))^2) = E(&^2) - (E(&))^2

E(&^2) = ∫x^2 f(x) dx по всіх значеннях x

E(&^2) = ∫(-1,1] x^2 (1/2) dx = [x^3/6]_(-1,1] = (1/6 - (-1/6)) = 1/3

Отже,

Var(&) = E(&^2) - (E(&))^2 = 1/3 - (1/2)^2 = 1/12.

Answer 2

Для обчислення моди, медіани, математичного сподівання та дисперсії випадкової величини, спочатку розглянемо її функцію розподілу.

Функція розподілу F(x) виглядає так:

F(x) = 0, якщо x < -1 F(x) = (x + 1) / 2, якщо -1 < x ≤ 1 F(x) = 1, якщо x > 1

1. Мода (Mode): Мода - це значення, яке набуває найбільшої ймовірності у розподілі. У цьому випадку, оскільки функція розподілу виглядає як лінійна функція на інтервалі (-1, 1], мода буде розташована в кінці цього інтервалу, тобто x = 1.

2. Медіана (Median): Медіана - це значення, яке розділяє розподіл на дві рівні частини (50% вибірки лежать ліворуч від неї і 50% - праворуч). Оскільки функція розподілу лінійна на інтервалі (-1, 1], медіана також буде розташована в цьому інтервалі. Ми можемо знайти її як середнє значення цього інтервалу:

Медіана = (-1 + 1) / 2 = 0

3. Математичне сподівання (Expected Value): Математичне сподівання випадкової величини можна обчислити, використовуючи інтеграл від функції розподілу:

E(X) = ∫[x * f(x)] dx

Де f(x) - щільність ймовірності. У нашому випадку f(x) = dF(x)/dx:

f(x) = 1/2, якщо -1 < x ≤ 1 f(x) = 0 в інших випадках

Тепер обчислимо математичне сподівання:

E(X) = ∫[x * (1/2)] dx, з -1 до 1 E(X) = (1/2) * [(x^2)/2] з -1 до 1 E(X) = (1/2) * [(1^2/2) - (-1^2/2)] E(X) = (1/2) * [(1/2) - (-1/2)] E(X) = (1/2) * (1) E(X) = 1/2

4. Дисперсія (Variance): Дисперсія випадкової величини може бути обчислена як:

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Ми вже знайшли E(X) як 1/2. Тепер обчислимо E(X^2):

E(X^2) = ∫[x^2 * (1/2)] dx, з -1 до 1 E(X^2) = (1/2) * [(x^3)/3] з -1 до 1 E(X^2) = (1/2) * [(1^3/3) - (-1^3/3)] E(X^2) = (1/2) * [(1/3) - (-1/3)] E(X^2) = (1/2) * (2/3) E(X^2) = 1/3

Тепер обчислимо дисперсію:

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 Var(X) = (1/3) - (1/2)^2 Var(X) = (1/3) - (1/4) Var(X) = (4/12) - (3/12) Var(X) = 1/12

Отже, мода дорівнює 1, медіана дорівнює 0, математичне сподівання дорівнює 1/2, а дисперсія дорівнює 1/12 для випадкової величини, заданої вашою функцією розподілу.