Question

Решите неравенство g'(x)>0, где g(x)=(1-4x)^2

Answer 1

Ответ:       ( 1/4 ; + ∞ ) .

Пошаговое объяснение:

g'(x)>0, де g(x)=(1-4x)² .

    g(x) = ( 1 - 4x )² = ( 4х - 1 )² ;

    g'(x) = [  ( 4х - 1 )²]' = 2*( 4x - 1 ) *( 4x - 1 )' = 8(4x - 1 ) ;

    g'(x) > 0 ;     8(4x - 1 ) > 0 ;

                            4x - 1 > 0 ;

                                4x > 1 ;

                                  x > 1/4 ;        xЄ ( 1/4 ; + ∞ ) .

Answer 2

Для решения неравенства \( g'(x) > 0 \), где \( g(x) = (1-4x)^2 \), нужно найти производную функции \( g(x) \) и определить интервалы, на которых она положительна.

1. Начнем с нахождения производной \( g(x) \): \[ g'(x) = 2(1-4x)(-4) = -8(1-4x) \]

2. Теперь найдем значения \( x \), при которых \( g'(x) = 0 \): \[ -8(1-4x) = 0 \] Решив уравнение, получаем \( x = \frac{1}{4} \).

3. Теперь разбиваем область определения функции \( g'(x) \), которая равна \( \mathbb{R} \), на интервалы, обусловленные найденными значениями \( x \). Это: - Интервал 1: \( x < \frac{1}{4} \) - Интервал 2: \( x > \frac{1}{4} \)

4. Теперь анализируем знак производной на каждом интервале: - Интервал 1 (\( x < \frac{1}{4} \)): Подставим \( x = 0 \), например, в производную \( g'(x) = -8(1-4x) \). Получим \( g'(0) = -8 \cdot 1 < 0 \). - Интервал 2 (\( x > \frac{1}{4} \)): Подставим \( x = \frac{1}{2} \), например, в производную. Получим \( g'\left(\frac{1}{2}\right) = -8\left(1-4\cdot\frac{1}{2}\right) = 0 \cdot -7 = 0 \).

5. Таким образом, на интервале \( x < \frac{1}{4} \) производная отрицательна, а на интервале \( x > \frac{1}{4} \) производная равна нулю.

Итак, неравенство \( g'(x) > 0 \) выполняется на интервале \( x > \frac{1}{4} \).