Question

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС точка К середина, а на катете ВС точка М такая, что BM: MC = 2:1. Пусть Р – точка пересечения отрезков AM и СК. Докажите, что прямая КМ касается окружности, описанной около треугольника АКР.​

Answer 1

Ответ:

Обозначим АВ = c, АС = b, ВС = а.

ВМ : МС = 2 : 1, значит

$BM=\dfrac{2a}{3},$     $MC=\dfrac{a}{3}$

Из прямоугольного треугольника АСМ по теореме Пифагора:

$AM=\sqrt{b^2+\dfrac{a^2}{9}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{9b^2+a^2}$

Из ΔАМВ по теореме Менелая (см. рисунок):

$\dfrac{BK}{KA}\cdot \dfrac{AP}{PM}\cdot \dfrac{MC}{CB}=1$

$\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{AP}{PM}\cdot \dfrac{1}{3}=1$     ⇒       $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{3}{1}$     ⇒      

$\boldsymbol{PM}=\dfrac{1}{4}AM=\dfrac{1}{12}\sqrt{9b^2+a^2}$

Из ΔАВС:   $\cos \beta=\dfrac{a}{c}$

Из ΔКМВ по теореме косинусов:

$\boldsymbol{KM^2}=\dfrac{4a^2}{9}+\dfrac{c^2}{4}-2\cdot \dfrac{2a}{3}\cdot \dfrac{c}{2}\cdot\dfrac{a}{c}=$

$=\dfrac{4a^2}{9}+\dfrac{a^2+b^2}{4}-\dfrac{2a^2}{3}=$

$=\dfrac{16a^2}{36}+\dfrac{9a^2}{36}+\dfrac{9b^2}{36}-\dfrac{24a^2}{36}=$

$\boldsymbol{=\dfrac{a^2+9b^2}{36}}$

Проверим, если КМ² = РМ · АМ, то КМ - касательная.

$PM\cdot AM=\dfrac{1}{12}\sqrt{9b^2+a^2}\cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{9b^2+a^2}=$

$=\dfrac{1}{36}(9b^2+a^2)=\dfrac{a^2+9b^2}{36}$

КМ² = РМ · АМ, значит КМ - касательная.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая \( KM \) касается окружности, описанной вокруг треугольника \( AKR \), давайте воспользуемся свойствами касательных и треугольников.

Обозначим через \( O \) центр описанной окружности. Также, пусть \( \angle AKB = \alpha \) и \( \angle ACR = \beta \).

Так как точка \( K \) - середина гипотенузы \( AB \), то \( AK = BK \). Также, учитывая, что \( BM : MC = 2:1 \), мы можем выразить длины следующим образом: \( BM = \frac{2}{3} \cdot BK \) и \( MC = \frac{1}{3} \cdot BK \).

Теперь рассмотрим треугольники \( BKO \) и \( CKO \). В этих треугольниках мы имеем:

1. \( \angle BKO = \angle CKO = 90^\circ \) (по построению треугольника \( ABC \)). 2. \( BO = CO \) (так как \( O \) - центр описанной окружности). 3. \( BK = CK \) (так как \( K \) - середина гипотенузы).

Таким образом, треугольники \( BKO \) и \( CKO \) равны по сторонам и углам, и, следовательно, \( \angle BOK = \angle COK \).

Теперь рассмотрим треугольники \( AMK \) и \( COK \):

1. \( \angle AMK = \angle COK \) (по равенству углов \( \angle BOK \)). 2. \( AK = CK \) (по построению).

Следовательно, по угловой части критерия равенства треугольников, треугольники \( AMK \) и \( COK \) равны.

Теперь рассмотрим отношение сторон \( \frac{KP}{PK} \), где \( P \) - точка пересечения отрезков \( AM \) и \( CK \). Мы знаем, что \( BM : MC = 2:1 \), поэтому \( KP : PM = 2:1 \). Также, учитывая равенство треугольников \( AMK \) и \( COK \), имеем \( KP = CP \) и \( MP = MK \).

Таким образом, \( CP : MP = 2:1 \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ACP \). У нас есть отношение сторон \( CP : MP = 2:1 \) и угол \( \angle ACP \) против линии \( KM \).

Согласно условию касания, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен \( 90^\circ \). Таким образом, угол \( \angle ACP \) также равен \( 90^\circ \).

Итак, мы доказали, что угол между касательной \( KM \) и радиусом \( OP \) (где \( O \) - центр описанной окружности) равен \( 90^\circ \), что является признаком касания. Таким образом, прямая \( KM \) действительно касается описанной окружности треугольника \( AKR \).