Question

Доказать 1/1*2+1/2*3+...1/n(n+1)=n/n+1=n/n-1

Answer 1

Для доведення цієї рівності ми можемо використовувати метод математичної індукції. Ми спростимо і виведемо формулу для n, а потім покажемо, що вона виконується для n+1.

1. **Базовий випадок (n = 1)**:

Для n=1 маємо:

1/1*(1+1) = 1/2

Також:

n / (n + 1) = 1 / (1 + 1) = 1 / 2

Отже, базовий випадок підтверджує рівність.

2. **Припущення індукції**:

Припустимо, що рівність виконується для деякого n=k:

1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/k*(k+1) = k / (k + 1)

3. **Крок індукції**:

Ми хочемо довести, що рівність виконується для n=k+1. Додамо до обох сторін нашої гіпотези (припущення індукції) вираз для n=k+1:

1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/k*(k+1) + 1/(k+1)*(k+2) = k / (k + 1) + 1/(k+1)*(k+2)

Тепер спростимо праву сторону:

k / (k + 1) + 1/(k+1)*(k+2) = (k(k+2) + 1) / (k + 1)(k+2)

Розглянемо чисельник:

k(k+2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2

Тепер замінимо чисельник:

(k + 1)^2 / (k + 1)(k+2) = (k + 1) / (k + 2)

Таким чином, ми довели, що рівність виконується для n=k+1.

Отже, за допомогою методу математичної індукції ми довели, що:

1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/n*(n+1) = n / (n + 1)

Answer 2

Для доказательства равенства 1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/n(n+1) = n/n+1 = n/n-1+ мы воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый случай (n=1): При n=1 левая часть равна 1, а правая часть равна 1/2. Таким образом, базовый случай выполняется.

2. Предположение индукции: Предположим, что равенство 1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/n(n+1) = n/n+1 = n/n-1+ выполняется для некоторого k.

3. Индукционный переход: Докажем, что равенство выполняется для k+1. То есть, мы предполагаем, что 1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/k(k+1) = k/k+1 = k/k-1+ и покажем, что равенство также выполняется для k+1.

Раскроем последнее слагаемое в левой части: 1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/k(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = k/k+1 + 1/(k+1)(k+2)

Теперь преобразуем правую часть: k/k+1 + 1/(k+1)(k+2) = k(k+2) + 1 / (k+1)(k+2) = (k^2 + 2k + 1) / (k+1)(k+2) = (k+1)^2 / (k+1)(k+2) = (k+1)/(k+2)

Таким образом, равенство выполняется и для k+1.

4. Вывод: Мы доказали справедливость равенства 1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/n(n+1) = n/n+1 = n/n-1+ для всех натуральных n по индукции.