Question

Найдите остаток при деление на 10, выражение: 5 в степени 2020 + 6 в степени 2021 + 7 в степени 2022 Дам 50 баллов

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

Знак степени я буду писать ^, как принято в программировании.

5^2020 + 6^2021 + 7^2022

Остаток при делении на 10 - это последняя цифра числа.

5 в любой степени кончается на 5.

5^2 = 25; 5^3 = 125; 5^4 = 625; 5^5 = 3125; и т. д.

6 в любой степени кончается на 6.

6^2 = 36; 6^3 = 216; 6^4 = 1296; 6^5 = 7776 и т. д.

Рассмотрим степени 7.

7^2 = 49; 7^3 = 343; 7^4 = 2401; 7^5 = 16807.

Последние цифры степеней 7:

1 - 7; 2 - 9; 3 - 3; 4 - 1; 5 - 7; 6 - 9; 7 - 3; 8 - 1; 9 - 7; 10 - 9.

Дальше я буду писать = но это означает не "равно", а "оканчивается на ту же цифру".

7^2022 = 7^2020*7^2 = (7^4)^505*49 = 1^505*9 = 9.

Сумма 5 + 6 + 9 = 20 и оканчивается на 0.

Значит, это число делится на 10 нацело.

Иначе говоря, его остаток от деления на 10 равен 0.

Answer 2

Конечно, посчитаем остаток при делении на 10 выражения \(5^{2020} + 6^{2021} + 7^{2022}\).

Для нахождения остатка при делении больших чисел на 10 достаточно посмотреть только на последние цифры этих чисел.

Посмотрим на циклы остатков при делении степеней чисел на 10:

Для числа 5: \(5^1\) - последняя цифра 5, \(5^2\) - последняя цифра 5, \(5^3\) - последняя цифра 5, и так далее. Видим, что у 5 нет периода в остатках при делении на 10.

Для числа 6: \(6^1\) - последняя цифра 6, \(6^2\) - последняя цифра 6, \(6^3\) - последняя цифра 6, и так далее. Также у 6 нет периода в остатках при делении на 10.

Для числа 7: \(7^1\) - последняя цифра 7, \(7^2\) - последняя цифра 9, \(7^3\) - последняя цифра 3, \(7^4\) - последняя цифра 1, \(7^5\) - последняя цифра 7. Видим, что у 7 цикл остатков при делении на 10 равен 4.

Теперь применим этот цикл к нашему выражению:

\(5^{2020}\) - так как у числа 5 нет периода в остатках при делении на 10, последняя цифра будет 5. \(6^{2021}\) - также у числа 6 нет периода в остатках при делении на 10, последняя цифра будет 6. \(7^{2022}\) - остаток при делении 2022 на 4 равен 2 (2022 = 505 * 4 + 2). Таким образом, нужно возвести 7 в степень 2. \(7^2 = 49\), а последняя цифра 49 - это 9.

Теперь сложим эти последние цифры: \(5 + 6 + 9 = 20\).

Остаток при делении 20 на 10 равен 0.

Таким образом, остаток при делении на 10 выражения \(5^{2020} + 6^{2021} + 7^{2022}\) равен 0.