Question

X⁸+x⁴-2=0 розв'яжіть рівняння​

Answer 1

Сделаем замену:

Пусть $x^4=t$, тогда

$t^2+t-2=0\\\\\boxed{D = b^2-4ac}\\\\D= 1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9$

9 > 0 ⇒ 2 корня

$\sqrt9=3$

$\left\begin{array}{lcl}t_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2\\\\t_2=\dfrac{-1+3}2=1 \end{array}\right \qquad\qquad\boxed{t_{1,2}=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

При x в чётной степени 4 отрицательным ответ быть не может, следовательно, подходит только второй корень

$x^4=1$

$x=\pm1$  или  $x_1=-1;\ x_2=1$

Ответ: $x=\pm1$

Answer 2

Щоб вирішити рівняння \(X^8 + X^4 - 2 = 0\), давайте введемо певні підстановки для полегшення обчислень. Позначимо \(Y = X^4\). Тепер наше рівняння виглядає як \(Y^2 + Y - 2 = 0\).

Ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою стандартної формули квадратного рівняння:

\[Y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = 1\), і \(c = -2\). Підставимо ці значення:

\[Y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}\]

\[Y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\]

\[Y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}\]

Тепер отримаємо два можливих значення для \(Y\):

1. \(Y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\) 2. \(Y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\)

Тепер повертаємося до виразу \(Y = X^4\):

1. Для \(Y_1 = 1\): \(X^4 = 1\). Звідси випливає, що \(X = \pm 1\). 2. Для \(Y_2 = -2\): \(X^4 = -2\). Однак це рівняння не має реальних коренів, оскільки квадрат від будь-якого реального числа завжди є не від'ємним.

Отже, рішеннями початкового рівняння \(X^8 + X^4 - 2 = 0\) є \(X = 1\), \(X = -1\).