Question

В прямоугольном треугольнике A B C с прямым углом A проведена высота A H . Окружность, проходящая через точки A и H , пересекает катеты A B и A C в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка A C , если известно, что =7 A X = 7 , =10 A Y = 10 , =11 A B = 11 .

Answer 1

Ответ:12

Используй пропорции сторон

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольника следующим образом:

AB = c, BC = a, AC = b.

Также обозначим длины отрезков AX и AY как x и y соответственно.

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

AX = 7, AY = 10, AB = 11.

Мы также знаем, что AXYH - это прямоугольный четырехугольник (так как AX и AY - высоты, опущенные из прямого угла). Поэтому применим теорему Пифагора к треугольникам AXH и AYH:

1. Для треугольника AXH: \[ AH^2 + XH^2 = AX^2 \] \[ AH^2 + x^2 = 7^2 \]

2. Для треугольника AYH: \[ AH^2 + YH^2 = AY^2 \] \[ AH^2 + y^2 = 10^2 \]

Теперь сложим эти два уравнения: \[ AH^2 + x^2 + AH^2 + y^2 = 7^2 + 10^2 \] \[ 2AH^2 + x^2 + y^2 = 149 \]

Теперь у нас есть уравнение, включающее квадрат длины высоты треугольника. Нам нужно выразить эту высоту через известные длины сторон треугольника.

Так как \( AH = b \) (высота, проведенная к гипотенузе), можем подставить это значение: \[ 2b^2 + x^2 + y^2 = 149 \]

Теперь рассмотрим треугольники AXB и AYC. Мы знаем, что AX = 7, AY = 10 и AB = 11. Мы также знаем, что XB = BY, так как они оба являются катетами треугольника AXY. Таким образом, AXB и AYC - подобные треугольники.

Мы можем использовать отношение сторон подобных треугольников, чтобы выразить x и y через известные длины сторон треугольника ABC:

\[ \frac{x}{c} = \frac{XB}{AB} \] \[ \frac{y}{a} = \frac{YC}{AC} \]

Так как XB = BY и AC = BC, мы можем упростить это до: \[ \frac{x}{c} = \frac{y}{a} \] \[ ax = cy \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ 2b^2 + x^2 + y^2 = 149 \] \[ ax = cy \]

Из условий задачи нам также известны значения x, y и a: \[ x = 7, \quad y = 10, \quad a = 11 \]

Подставим эти значения в уравнения и решим систему:

\[ 2b^2 + 7^2 + 10^2 = 149 \] \[ 11b = b \cdot 10 \]

Решив эту систему, мы можем найти b (длину стороны AC).