Question

Пожалуйста, помогите. 1. Число диагоналей выпуклого многоугольника вдвое больше числа его сторон. Чему равно число сторон многоугольника? 2. Докажите, что если a > b > c , то a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)>0 3. Окружность проходит через вершину в △ABC, касается стороны AC в её середине D и пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=BC=3:2. Найдите отношение площади △AMD к площади △DNC Пожалуйста, помогите. Нужно очень срочно

Answer 1

Ответ:

5, доказано, -

Пошаговое объяснение:

Объяснение в фотографии

Надеюсь понятно объяснил

Если что спрашивай

В 3 задании ты походу ошибся(лась) в условии

Ты написал(а) AB=BC=3:2

Мне кажется правильно AB:BC=3:2

Ибо в числах эта задача не нуждается, да и при равенстве AB=AC всё элементарно походу

Answer 2

1. Давайте обозначим число сторон выпуклого многоугольника через \( n \). Число диагоналей в многоугольнике можно выразить формулой \( D = \frac{n \cdot (n-3)}{2} \). Условие задачи утверждает, что \( D = 2n \). Подставим это в уравнение:

\[ \frac{n \cdot (n-3)}{2} = 2n \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ n \cdot (n-3) = 4n \]

Раскроем скобки:

\[ n^2 - 3n = 4n \]

Переносим все элементы в одну сторону:

\[ n^2 - 7n = 0 \]

Факторизуем:

\[ n(n-7) = 0 \]

Таким образом, \( n = 0 \) или \( n = 7 \). В контексте задачи, число сторон многоугольника не может быть нулевым, поэтому \( n = 7 \). Таким образом, выпуклый многоугольник имеет 7 сторон.

2. Рассмотрим выражение \( a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) \). Выделим общий множитель \( (a-b)(a+b)(b-c) \). Теперь мы можем записать выражение следующим образом:

\[ (a-b)(a+b)(b-c) > 0 \]

Условие задачи утверждает, что \( a > b > c \), поэтому:

\[ (a-b) > 0, \quad (a+b) > 0, \quad (b-c) > 0 \]

Произведение положительных чисел всегда положительно, следовательно, выражение \( a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) > 0 \).

3. Рассмотрим треугольники \( \triangle AMD \) и \( \triangle DNC \). Так как окружность проходит через вершину \( A \) и касается стороны \( AC \) в её середине \( D \), у нас есть две пары подобных треугольников: \( \triangle ADB \) подобен \( \triangle ADC \) и \( \triangle AMC \) подобен \( \triangle ANC \).

Так как \( AB = BC = 3:2 \), то \( AD = CD = BD \). Также, поскольку окружность касается стороны \( AC \) в её середине, угол \( \angle CAD \) является прямым углом.

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников:

\[ \frac{\text{Площадь} \triangle AMD}{\text{Площадь} \triangle DNC} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AM \cdot \sin(\angle DAM)}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot CN \cdot \sin(\angle DCN)} \]

Так как \( AD = CD \) и \( \angle DAM = \angle DCN \), отношение упрощается:

\[ \frac{\text{Площадь} \triangle AMD}{\text{Площадь} \triangle DNC} = \frac{AM}{CN} \]

Также, по подобию треугольников \( \triangle AMC \) и \( \triangle ANC \), отношение сторон равно отношению площадей:

\[ \frac{AM}{CN} = \frac{AC}{AC} = 1 \]

Таким образом, отношение площадей \( \triangle AMD \) к \( \triangle DNC \) равно 1.