Question

СРОЧНО! Даю 25 баллов! Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 100 в красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?

Answer 1

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:2^6 - 64, 2^7 - 128, следовательно таких способов 6

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать метод математической индукции.

Предположим, что для чисел от 1 до n существует k способов покрасить их так, чтобы условие задачи выполнялось.

Рассмотрим случай, когда n = n+1. Для чисел от 1 до n+1 мы можем рассмотреть два случая: 1) Если n+1 - степень двойки, то никакое число из чисел от 1 до n не может быть равно n+1, так как в таком случае сумма двух одноцветных чисел будет равна степени двойки. Единственный цвет, который остается, это синий. Таким образом, число способов покрасить числа от 1 до n+1 равно числу способов покрасить числа от 1 до n в синий цвет, которое равно k. 2) Если n+1 - не степень двойки, то существует как минимум одна степень двойки, к которой можно добавить число 1, чтобы получить n+1. Рассуждая аналогично первому случаю, мы можем закрасить число 1 синим цветом, а оставшиеся числа от 2 до n в красный цвет. Таким образом, количество способов покрасить числа от 1 до n+1 равно числу способов покрасить числа от 2 до n в красный цвет, которое также равно k.

Таким образом, получаем рекуррентное соотношение: f(n+1) = f(n), где f(n) - количество способов покрасить числа от 1 до n.

Так как задача нам известна для n = 1, то начальное условие: f(1) = 2 (можно покрасить число 1 в синий или в красный цвет).

Используя рекуррентное соотношение, можем построить таблицу значений:

n | f(n) --------------- 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 | 2 11 | 2 12 | 2 13 | 2 14 | 2 15 | 2 16 | 2 17 | 2 18 | 2 19 | 2 20 | 2 21 | 2 22 | 2 23 | 2 24 | 2 25 | 2 26 | 2 27 | 2 28 | 2 29 | 2 30 | 2 31 | 2 32 | 2 33 | 2 34 | 2 35 | 2 36 | 2 37 | 2 38 | 2 39 | 2 40 | 2 41 | 2 42 | 2 43 | 2 44 | 2 45 | 2 46 | 2 47 | 2 48 | 2 49 | 2 50 | 2 51 | 2 52 | 2 53 | 2 54 | 2 55 | 2 56 | 2 57 | 2 58 | 2 59 | 2 60 | 2 61 | 2 62 | 2 63 | 2 64 | 2 65 | 2 66 | 2 67 | 2 68 | 2 69 | 2 70 | 2 71 | 2 72 | 2 73 | 2 74 | 2 75 | 2 76 | 2 77 | 2 78 | 2 79 | 2 80 | 2 81 | 2 82 | 2 83 | 2 84 | 2 85 | 2 86 | 2 87 | 2 88 | 2 89 | 2 90 | 2 91 | 2 92 | 2 93 | 2 94 | 2 95 | 2 96 | 2 97 | 2 98 | 2 99 | 2 100 | 2

Таким образом, ответ на задачу составляет 2 способа покрасить числа от 1 до 100 так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки.