Question

Дан параллелограмм ABCD, в котором ∠B=122∘ и BC=BD. На отрезке BC отмечена такая точка H, что ∠BHD=90∘. Точка M — середина стороны AB. Найдите угол AMH. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

∠АМН =  154°.

Пошаговое объяснение:

∠BAD = 180-122 = 58° (углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне).

Треугольник АВD - равнобедренный, так как BD = ВС (дано), а ВС = AD, как противоположные стороны параллелограмма. => ∠ABD = ∠BAD = 58° (углы при основании равнобедренного треугольника).  

Проведем отрезок DM - медиана треугольника ABD, она же и высота и биссектриса (свойство).

∠ADB =  (1/2)·(180 - 58-58) = 64°.

∠MDВ =  (1/2)·∠ADB =64/2 =32°.

∠ВDН = 90 - 64 = 26°.

∠МDН = ∠MDB + ∠ВDН = 32 + 26 = 58°.

Проведем MN параллельно AD.  MN - cредняя линия параллелограмма - отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон параллелограмма. Точка К - точка пересечения высоты HD параллелограмма и его средней линии.  =>  DK = HK.

Тогда MК  - медиана и высота треугольника DMH =>  треугольник DMH - равнобедренный и ∠МDН = ∠МНD = 58°.

DМН = 180 - 58 - 58 = 64°.

∠АМН = ∠АМD + ∠DМН = 90° + 64° = 154°.

Answer 2

Из условия известно, что ∠B = 122° и BC = BD. Также известно, что ∠BHD = 90°. Так как BC = BD, то треугольник BCD равнобедренный, а значит, ∠BCD = ∠CBD. Так как ∠BHD = 90°, то треугольник BHD также равнобедренный, а значит, ∠BHD = ∠BDH.

Таким образом, ∠BHD = ∠BDH = 45°.

Теперь найдем угол AMH. Так как M — середина стороны AB, то AM = MB. Также известно, что ∠BHD = 90° и BC = BD, значит, треугольник BHC также равнобедренный, а значит, ∠BCH = ∠BHC.

Так как ∠BHC = ∠BCH = 45°, то угол AMH равен половине ∠BCH, то есть 45° / 2 = 22.5°.

Итак, угол AMH равен 22.5°.