Question

4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [а; b]. 4.1. y= In (x2 - 2x + 2), [0; 3].​

Answer 1

Ответ:

максимум  y(3) = ln(5)

минимум   y(1) = 0

Пошаговое объяснение:

Находим стационарные точки

$\displaystyle y'(x)=\bigg( ln (x^2 - 2x + 2)\bigg)'=\frac{2x-2}{x^2 - 2x + 2 } \\\\\\\frac{2x-2}{x^2 - 2x + 2 }=0\qquad 2x-2=0 \quad x_0=1$

Теперь находим значение функции на концах отрезка и в точке х₀=1

y(0)= ln(2) ≈0.6931

y(1)= ln(1) = 0

y(3) = ln(5) ≈1.6094

Таким образом, на интервале [0; 3]  функция достигает максимума в точке х₁=3   y(3) = ln(5) и минимума в точке х₀ = 1   y(1) = 0

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y=f(x) на отрезке [a; b] необходимо проанализировать поведение функции на этом отрезке.

Для функции y = ln(x^2 - 2x + 2) на отрезке [0; 3] будем действовать следующим образом:

1. Найдем производную функции: f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 2x + 2).

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: f'(x) = 0, если 2x - 2 = 0 => x = 1.

3. Исследуем поведение функции на интервалах, полученных разбиением отрезка [a; b] точкой, в которой производная равна нулю или не существует.

3.1. Интервал [0; 1]: - Подставляем любое значение x из интервала в исходную функцию, чтобы определить, как меняется знак функции на этом интервале. - В данном случае, при x = 0 получаем y = ln(2), а при x = 1 получаем y = ln(1) = 0. - Так как ln(1) = 0, функция не обращается в бесконечность на интервале [0; 1]. - Значит, на этом интервале функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. - Таким образом, найти наименьшее и наибольшее значение функции на этом интервале не получится.

3.2. Интервал [1; 3]: - Подставляем любое значение x из интервала в исходную функцию. - Например, при x = 2 получаем y = ln(4 - 4 + 2) = ln(2). - Значит, функция на этом интервале принимает положительные значения.

4. Заключение: - Наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [0; 3] найти не получится, так как функция не имеет точных максимумов и минимумов на этом отрезке. - Однако, можно сказать, что минимальное значение функции равно ln(2), а максимальное значение функции не ограничено сверху на данном отрезке.