Question

Дуже прошу вирішити 2 задачі у письмовому вигляді по крокам у зош. Навколо куба, ребро якого дорівнюе 2/3 см, описано кулю. Знайдіть обʼєм кулі і площу її поверхні. У правильну чотирикутну призму вписано кулю. Знайдіть відношення сторони основи призми до її висоти.

Answer 1

Задача 1:

Дано, що навколо куба, ребро якого дорівнює 2/3 см, описано кулю.

1. Знайдемо радіус кулі: Відомо, що діагональ куба (яка є діаметром описаної кулі) дорівнює ребру куба помножити на \(\sqrt{3}\) (для куба це випливає з того, що діагональ – це бічна грань куба). \[ \text{Діаметр кулі} = \text{Ребро куба} \times \sqrt{3} \] \[ \text{Діаметр кулі} = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} \]

З радіуса \( r \) можна отримати діаметр \( d \) за формулою \( d = 2r \), тому: \[ r = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \]

2. Знайдемо об'єм кулі: Об'єм кулі \( V \) обчислюється за формулою \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \). \[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{3} \times \sqrt{3}\right)^3 \] Після обчислень, знайдемо об'єм кулі.

3. Знайдемо площу поверхні кулі: Площа поверхні кулі \( S \) обчислюється за формулою \( S = 4\pi r^2 \). \[ S = 4\pi \left(\frac{1}{3} \times \sqrt{3}\right)^2 \] Після обчислень, знайдемо площу поверхні кулі.

Задача 2:

Дано, що в правильну чотирикутну призму вписано кулю.

1. Знайдемо відношення сторін основи призми до її висоти: В правильній чотирикутній призмі сторони основи є рівними і рівні відомій стороні куба (оскільки куб - це також правильна чотирикутна призма).

Нехай \( a \) - довжина сторони основи, а \( h \) - висота призми.

Тоді відношення сторін основи до висоти можна визначити як \( \frac{a}{h} \).

Оскільки вписана куля торкається центральної точки кожної грані призми, радіус кулі \( r \) дорівнює половині довжини сторони основи призми.

2. Запишемо відношення: \[ \frac{a}{h} = 2r \]

Оскільки \( r = \frac{1}{2}a \), можемо підставити це значення: \[ \frac{a}{h} = 2 \times \frac{1}{2}a \] \[ \frac{a}{h} = 1 \]

Отже, відношення сторін основи призми до її висоти дорівнює 1.