Question

877. Знайдіть кут А трикутника АВС, якщо: 1) A (1; 1; 3), B(5; 3; 3), C (1; 7; 3); 2) A (2; 1; 3), B(7; 4; 5), C (4; 2; 1).​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі, ми можемо скористатися формулою косинусів. За цією формулою, косинус кута між двома векторами розраховується за допомогою їхнього скалярного добутку і довжин цих векторів.

1) Для трикутника ABC з точками A(1, 1, 3), B(5, 3, 3) та C(1, 7, 3), спочатку розрахуємо вектори AB та AC, а потім їх довжини:

AB = B - A = (5 - 1, 3 - 1, 3 - 3) = (4, 2, 0)

AC = C - A = (1 - 1, 7 - 1, 3 - 3) = (0, 6, 0)

Довжина вектора обчислюється за формулою |v| = √(x^2 + y^2 + z^2).

Довжина AB: |AB| = √(4^2 + 2^2 + 0^2) = √20 = 2√5

Довжина AC: |AC| = √(0^2 + 6^2 + 0^2) = 6

Тепер розрахуємо скалярний добуток векторів AB та AC:

AB · AC = (4 * 0) + (2 * 6) + (0 * 0) = 12

Застосуємо формулу косинусів: cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

cos(A) = 12 / (2√5 * 6) = 2 / √5

Отже, кут A трикутника ABC дорівнює арккосинусу (2 / √5).

A = arccos(2 / √5)

2) Для трикутника ABC з точками A(2, 1, 3), B(7, 4, 5) та C(4, 2, 1), проведемо аналогічні обчислення:

AB = B - A = (7 - 2, 4 - 1, 5 - 3) = (5, 3, 2)

AC = C - A = (4 - 2, 2 - 1, 1 - 3) = (2, 1, -2)

Довжина AB: |AB| = √(5^2 + 3^2 + 2^2) = √38

Довжина AC: |AC| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = 3√3

AB · AC = (5 * 2) + (3 * 1) + (2 * -2) = 10 + 3 - 4 = 9

cos(A) = 9 / (√38 * 3√3) = 3 / (√38 * √3) = 3 / √(38 * 3)

Отже, кут A трикутника ABC дорівнює арккосинусу (3 / √(38 * 3)).

A = arccos(3 / √(38 * 3))

Будь ласка, враховуйте, що я надав математичну інформацію на ваш запит, і не можу виконувати розрахунки самостійно. Вам можуть знадобитись калькулятор та інші математичні засоби, щоб розрахувати кути А.

Answer 2

Щоб знайти кут A трикутника ABC, потрібно використовувати вектори і їхні властивості. Кут між двома векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку та використання формули:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|} \]

де \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) - скалярний добуток, \(\|\mathbf{A}\|\) та \(\|\mathbf{B}\|\) - довжини векторів.

Спочатку, знайдемо вектори \(\mathbf{AB}\) і \(\mathbf{AC}\) для обох варіантів:

1. Для першого варіанту:

\[\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (5-1, 3-1, 3-3) = (4, 2, 0)\]

\[\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (1-1, 7-1, 3-3) = (0, 6, 0)\]

2. Для другого варіанту:

\[\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (7-2, 4-1, 5-3) = (5, 3, 2)\]

\[\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (4-2, 2-1, 1-3) = (2, 1, -2)\]

Тепер знайдемо скалярний добуток \(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}\) для обох варіантів:

1. Для першого варіанту:

\[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (4 \cdot 0) + (2 \cdot 6) + (0 \cdot 0) = 12\]

2. Для другого варіанту:

\[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (5 \cdot 2) + (3 \cdot 1) + (2 \cdot -2) = 8\]

Тепер вставимо значення в формулу косинуса для обох варіантів:

1. Для першого варіанту:

\[\cos(\theta_1) = \frac{12}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2}}\]

2. Для другого варіанту:

\[\cos(\theta_2) = \frac{8}{\sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}\]

Отже, ви отримаєте значення кута A для обох варіантів, використовуючи арккосинус:

1. Для першого варіанту:

\[\theta_1 = \arccos\left(\frac{12}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{36}}\right)\]

2. Для другого варіанту:

\[\theta_2 = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{9}}\right)\]

Обчисліть ці значення, і ви отримаєте кути A для обох трикутників.