Question

Дано рівняння двох сторін паралелограма: x + y -1 = 0; 3x - y+4=0 і точка перетину його діагоналей (3;3). Знайти рівняння двох інших сторін.

Answer 1

Ответ:

Діагоналі паралелограма перетинаються в єдиній точці їхнього перетину. Давайте спершу знайдемо рівняння діагоналей, а потім рівняння інших сторін паралелограма.

1. Знайдемо рівняння першої діагоналі:

Діагональ паралелограма має рівняння x + y - 1 = 0.

2. Знайдемо рівняння другої діагоналі:

Відомо, що точка перетину діагоналей має координати (3;3). Позначимо рівняння другої діагоналі як ax + by + c = 0. Тоді:

3a + 3b + c = 0 (1)

3. Також, друга діагональ повинна бути паралельною першій, отже, вектор нормалі для обох діагоналей має бути однаковий. Для першої діагоналі вектор нормалі (1, 1), тому для другої діагоналі вектор нормалі також має бути (1, 1).

Отже, 3a + 3b = 0 (2)

4. Також, друга діагональ проходить через точку (3;3), тому:

3a + 3b + c = 0 (3)

5. Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь (1), (2) і (3), щоб знайти рівняння другої діагоналі.

Знайдемо (2) - (1):

(3a + 3b) - (3a + 3b + c) = 0

0 - c = 0

Тобто, c = 0.

Тепер ми знаємо, що c = 0, і можемо використовувати (1) для знаходження a і b:

3a + 3b = 0

a + b = 0

a = -b

Таким чином, рівняння другої діагоналі може бути записане як:

ax - bx = 0

x(a - b) = 0

x = 0 або a - b = 0

Якщо x = 0, то це просто горизонтальна лінія, і ми вже маємо її рівняння. Але якщо a - b = 0, то ми маємо:

a - b = 0

a = b

Отже, рівняння другої діагоналі має вигляд:

ax + bx = 0

x(a + b) = 0

x(a + a) = 0

x(2a) = 0

x = 0 або a = 0

Отже, рівняння інших сторін паралелограма можуть бути такими:

1. x = 0 (горизонтальна лінія).

2. a - b = 0 (або a = b) (вертикальна лінія).

3. x = 0 або a = 0 (горизонтальна і вертикальна лінії перетинаються в точці (0,0)).

Таким чином, рівняння інших сторін паралелограма можуть бути будь-якими з перерахованих вище варіантів.

Answer 2

Дано рівняння двох сторін паралелограма:

1. \(x + y - 1 = 0\) 2. \(3x - y + 4 = 0\)

Точка перетину діагоналей паралелограма має координати (3, 3). Ця точка є серединою діагоналей паралелограма.

Ми можемо використовувати ці рівняння, щоб знайти координати кінців діагоналей. Давайте обчислимо ці координати.

Знаходження координат кінців діагоналей:

Для рівняння \(x + y - 1 = 0\):

Коли \(x = 0\), маємо \(y - 1 = 0\), звідки \(y = 1\). Таким чином, перший кінець діагоналі (A) - (0, 1).

Коли \(y = 0\), маємо \(x - 1 = 0\), звідки \(x = 1\). Таким чином, другий кінець діагоналі (B) - (1, 0).

Для рівняння \(3x - y + 4 = 0\):

Коли \(x = 0\), маємо \(-y + 4 = 0\), звідки \(y = 4\). Таким чином, перший кінець діагоналі (C) - (0, 4).

Коли \(y = 0\), маємо \(3x + 4 = 0\), звідки \(x = -4/3\). Таким чином, другий кінець діагоналі (D) - \((-4/3, 0)\).

Знаходження рівнянь інших двох сторін:

Тепер ми можемо використовувати координати цих кінців, щоб знайти рівняння інших двох сторін паралелограма, використовуючи формулу для рівняння прямої \(y = mx + b\), де \(m\) - це нахил прямої, а \(b\) - константа.

Для сторони AB:

1. Нахил прямої \(m_{AB}\) - це відношення зміни y до зміни x між точками A та B:

\[m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\]

Підставимо координати A та B:

\[m_{AB} = \frac{0 - 1}{1 - 0} = -1\]

Тепер використовуємо формулу \(y = mx + b\) і підставляємо будь-яку точку (наприклад, точку A):

\[y = -x + b\]

Підставимо координати точки A (0, 1):

\[1 = -0 + b \implies b = 1\]

Отже, рівняння сторони AB: \(y = -x + 1\).

Для сторони CD:

1. Нахил прямої \(m_{CD}\) - це відношення зміни y до зміни x між точками C та D:

\[m_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C}\]

Підставимо координати C та D:

\[m_{CD} = \frac{0 - 4}{-\frac{4}{3} - 0} = \frac{3}{4}\]

Тепер використовуємо формулу \(y = mx + b\) і підставляємо будь-яку точку (наприклад, точку C):

\[y = \frac{3}{4}x + b\]

Підставимо координати точки C (0, 4):

\[4 = \frac{3}{4}(0) + b \implies b = 4\]

Отже, рівняння сторони CD: \(y = \frac{3}{4}x + 4\).

Отже, рівняння двох інших сторін паралелограма:

1. Сторона AB: \(y = -x + 1\) 2. Сторона CD: \(y = \frac{3}{4}x + 4\)