Question

1) Довжини діагоналей паралелограма дорівнюють 4√3 і 7, а кут між ними 60˚. Обчислити площу паралелограма. 2) Довжини діагоналей паралелограма дорівнюють √3 і 5√3 . Обчислитисуму квадратів усіх сторін паралелограма. ​

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ S=\dfrac{1}{2}\, d_1\cdot d_2\cdot sin\varphi \\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt3\cdot 7\cdot sin60^\circ =14\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{14\cdot 3}{2}=7\cdot 3=21\\\\\\2)\ \ d_1^2+d_2^2=2\cdot (a^2+b^2)\\\\2\cdot (a^2+b^2)=(\sqrt3)^2+(5\sqrt3)^2=3+75=78$

Answer 2

Задача 1.

Длины диагоналей параллелограмма равны 4√3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найти площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей параллелограмма  на синус угла между ними.

$S=\frac{d_1d_2}{2}sin\alpha$

$d_1=4\sqrt{3};\; \; d_2=7;\; \; \alpha=60^0\\\\S=\frac{4\sqrt{3}*7}{2}*sin60^0=2\sqrt{3}*7*\frac{\sqrt{3}}{2}}=3*7=21$

Ответ: 21  

Задача 2.

Длины диагоналей параллелограмма равны √3 и 5√3. Найти сумму квадратов всех сторон параллелограмма.

Решение:

Воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

$d_1=\sqrt{3};\; \; d_2=5\sqrt{3}$

Находим сумму квадратов диагоналей параллелограмма:

$d_1^2+d_2^2=(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+25*3=3+75=78$

Итак, мы нашли сумму квадратов диагоналей параллелограмма. А это и есть  сумма квадратов всех сторон параллелограмма.

Ответ: 78

Answer 3

1. Площа паралелограма може бути знайдена за допомогою формули: S = d1 * d2 * sin(θ), де d1 і d2 - довжини діагоналей, а θ - кут між ними.

У нашому випадку d1 = 4√3, d2 = 7 і θ = 60˚.

Спочатку переведемо кут з градусів в радіани. 1 радіан дорівнює приблизно 57,3 градусів, тому 60 градусів дорівнюють π/3 радіан.

Тепер підставимо значення в формулу:

S = 4√3 * 7 * sin(π/3)

S = 28√3 * sin(π/3)

Значення sin(π/3) відомо і дорівнює √3/2.

S = 28√3 * (√3/2)

S = 28 * 3/2

S = 42

Отже, площа паралелограма дорівнює 42 квадратним одиницям.

2. Сума квадратів усіх сторін паралелограма може бути знайдена наступним чином. Завдяки теоремі Піфагора для прямокутного трикутника, в якому одна зі сторін - діагональ, можемо записати:

a^2 + b^2 = c^2

де a і b - сторони паралелограма, а c - довжина однієї з діагоналей.

В даному випадку c = 5√3.

Пошук a та b відбувається також за допомогою правила синусів, оскільки ми знаємо діагоналі та кут між ними.

a = d1 * sin(θ) = √3 * sin(π/3) = √3 * (√3/2) = 3/2

b = d2 * sin(θ) = 5√3 * sin(π/3) = 5√3 * (√3/2) = 15/2

Тепер знайдемо суму квадратів усіх сторін:

a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = (3/2)^2 + (15/2)^2 + (3/2)^2 + (15/2)^2

= 9/4 + 225/4 + 9/4 + 225/4

= 18/4 + 450/4 + 18/4 + 450/4

= 36/4 + 900/4

= (36 + 900)/4

= 936/4

= 234

Отже, сума квадратів усіх сторін паралелограма дорівнює 234 квадратним одиницям.