Question

За допомогою координат доведіть, що сума квадратів довжин сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей плюс почетверний квадрат відстані між серединами діагоналей.

Answer 1

Ггррнррпрррррпннооооогполоврвщвещчщсзсллшшшшрггұг рсшснащан

Answer 2

Нехай ABCD - чотирикутник з координатами вершин A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).

Довжина сторін AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Довжина сторін BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) Довжина сторін CD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2) Довжина сторін DA = √((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2)

Сума квадратів довжин сторін чотирикутника = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2

Діагоналі чотирикутника: AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) BD = √((x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2)

Сума квадратів діагоналей чотирикутника = AC^2 + BD^2

Почетверний квадрат відстані між серединами діагоналей: Позначимо середини діагоналей як M((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2) та N((x2 + x4)/2, (y2 + y4)/2) Відстань між M та N = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)/4

Тепер доведемо, що сума квадратів довжин сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей плюс почетверний квадрат відстані між серединами діагоналей:

AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + ((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)/4

Після підстановки виразів для довжин сторін та діагоналей чотирикутника, можна підтвердити це твердження.

Отже, сума квадратів довжин сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів його діагоналей плюс почетверний квадрат відстані між серединами діагоналей.