Question

2x₁3x₂x3 = -2; 3x₁4x₂ + 2x3 = -1; 2x₁ - x₂ + 3x3 = 6. розв'язати 3ма методами?​

Answer 1

Дана система уравнений: 1) 2x₁ + 3x₂ + x₃ = -2 2) 3x₁ + 4x₂ + 2x₃ = -1 3) 2x₁ - x₂ + 3x₃ = 6

Для решения данной системы можно использовать три метода: метод замены, метод подстановки и метод матрицы.

Метод замены: Из первого уравнения получим x₁ = (-2 - 3x₂ - x₃)/2. Подставим это выражение во второе уравнение: 3((-2 - 3x₂ - x₃)/2) + 4x₂ + 2x₃ = -1. Упростим: -6 - 9x₂ - 3x₃ + 4x₂ + 2x₃ = -1. -5x₂ - x₃ - 6 = -1. -5x₂ - x₃ = 5.

Из первого уравнения получим x₁ = (-2 - 3x₂ - x₃)/2. Подставим это выражение в третье уравнение: 2((-2 - 3x₂ - x₃)/2) - x₂ + 3x₃ = 6. Упростим: -2 - 3x₂ - x₃ - x₂ + 3x₃ = 6. -4x₂ + 2x₃ = 8.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: -5x₂ - x₃ = 5, -4x₂ + 2x₃ = 8.

Решим ее методом подстановки:

Из первого уравнения получим x₃ = -5 - 5x₂. Подставим это выражение во второе уравнение: -4x₂ + 2(-5 - 5x₂) = 8. -4x₂ - 10 -10x₂ = 8. -14x₂ - 10 = 8. -14x₂ = 18. x₂ = -18/14 = -9/7.

Подставим найденное значение x₂ в первое уравнение: -5(-9/7) - x₃ = 5. 45/7 - x₃ = 5. x₃ = 45/7 - 5 = 45/7 - 35/7 = 10/7.

Таким образом, решение данной системы уравнений методом замены: x₁ = (-2 - 3(-9/7) - 10/7)/2, x₂ = -9/7, x₃ = 10/7.

Метод подстановки: Найдем x₁ из первого уравнения: x₁ = (-2 - 3x₂ - x₃)/2.

Подставим это выражение во второе уравнение: 3((-2 - 3x₂ - x₃)/2) + 4x₂ + 2x₃ = -1. (-6 -9x₂ -3x₃)/2 + 4x₂ + 2x₃ = -1. -6 - 9x₂ - 3x₃ + 8x₂ + 4x₃ = -2. (-x₂ + x₃) + 1 = 0. -x₂ + x₃ = -1.

Подставим выражение для x₁ в третье уравнение: 2((-2 - 3x₂ - x₃)/2) - x₂ + 3x₃ = 6. -2 - 3x₂ - x₃ - x₂ + 3x₃ = 6. -4x₂ + 2x₃ = 8.

Для решения данной системы методом подстановки, можно решить уравнение -x₂ + x₃ = -1 относительно x₃: x₃ = 1 - x₂.

Подставим это выражение во второе уравнение: -4x₂ + 2(1 - x₂) = 8. -4x₂ + 2 - 2x₂ = 8. -6x₂ = 6. x₂ = -6/6 = -1.

Теперь найдем x₃: x₃ = 1 - x₂ = 1 - (-1) = 2.

Подставим найденные значения x₂ и x₃ в первое уравнение: x₁ = (-2 - 3(-1) - 2) / 2 = (3 - 2)/2 = 1/2.

Таким образом, решение данной системы уравнений методом подстановки: x₁ = 1/2, x₂ = -1, x₃ = 2.

Метод матрицы: Данная система уравнений может быть записана в виде матричного уравнения AX = B, где A - матрица коэффициентов, X - столбец неизвестных, B - столбец свободных членов.

Таким образом, система уравнений может быть записана в виде: ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 2 3 1 │ │ x₁ │ │ -2 │ │ 3 4 2 │ * │ x₂ │ = │ -1 │ │ 2 -1 3 │ │ x₃ │ │ 6 │ └ ┘ └ ┘ └ ┘

Для решения данной системы методом матрицы, найдем обратную матрицу к матрице A и умножим ее на столбец свободных членов B: X = A^(-1) * B.

Вычислим определитель матрицы A: det(A) = 2(4*3 - 2*(-1)) - 3(3*3 - 2*2) + 1(3*(-1) - 2*4) = 2(12 + 2) - 3(9 - 4) + 1(-3 - 8) = 28 - 9 - 11 = 8.

Так как det(A) ≠ 0, то матрица A имеет обратную матрицу. Вычислим обратную матрицу A^(-1):

A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A), где adj(A) - матрица алгебраических дополнений, транспонированная матрица союзных миноров.

adj(A) = ┌ ┐ │ 11 2 10 │ │ 11 3 2 │ │ -9 2 -6│ └ ┘

Таким образом, A^(-1) = (1/8) * ┌ ┐ │ 11/8 1/4 5/8 │ │ 11/8 3/8 1/4 │ │ -9/8 1/4 -3/8│ └ ┘

Умножим обратную матрицу на столбец свободных членов:

X = A^(-1) * B = (1/8) * ┌ ┐ ┌ ┐ │ 11/8 1/4 5/8 │ │ -2 │ │ 11/8 3/8 1/4 │ * │ -1 │ │ -9/8 1/4 -3/8│ │ 6 │ └ ┘ └ ┘

= (1/8) * ┌ ┐ │ -2 │ │ -1 │ │ 6 │ └ ┘ = ┌ ┐ │ -1/4 │ │ -1/8 │ │ 3/4 │ └ ┘

В результате, решение данной системы уравнений методом матрицы: x₁ = -1/4, x₂ = -1/8, x₃