Question

1. Найти производную функций: a) y=(1-x^2) cos2x; tg б) у=tg x/2/4+x^2 в) y = arctg²x-In√/1 + x² .

Answer 1

Конечно, давайте находим производные для каждой из данных функций.

a) \(y=(1-x^2)+\cos(2x)\)

Для нахождения производной этой функции, используем правила дифференцирования.

\[ y = (1-x^2) + \cos(2x) \]

1. Найдем производную первого слагаемого: \(\frac{d}{dx}(1-x^2) = -2x\). 2. Найдем производную второго слагаемого: \(\frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -2\sin(2x)\).

Теперь сложим результаты:

\[ \frac{dy}{dx} = -2x - 2\sin(2x) \]

б) \(y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{4 + x^2}{4}\)

\[ y = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{4 + x^2}{4} \]

1. Найдем производную первого слагаемого: \(\frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)\). 2. Найдем производную второго слагаемого: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{4 + x^2}{4}\right) = \frac{1}{2}x\).

Теперь сложим результаты:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}x \]

в) \(y = \arctan^2(x) - \ln\sqrt{1+x^2}\)

\[ y = \arctan^2(x) - \ln\sqrt{1+x^2} \]

1. Найдем производную первого слагаемого: \(\frac{d}{dx}(\arctan^2(x)) = 2\arctan(x)\cdot\frac{1}{1+x^2}\). 2. Найдем производную второго слагаемого: \(\frac{d}{dx}(-\ln\sqrt{1+x^2}) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}\).

Теперь сложим результаты:

\[ \frac{dy}{dx} = 2\arctan(x)\cdot\frac{1}{1+x^2} + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]

Это производные данных функций.