Question

Розв’яжіть рівняння 2x²-3x=2x√(x²-3x)+1 ​.

Answer 1

Відповідь:

-1/5

або

-0.2

Покрокове пояснення:

$x^ 2 -3x$ завжди не від'ємне бо знаходиться під коренем

Нехай $t^2 = x^2 - 3x \geq 0$

Тоді $2x^2 - 3x = 2x \sqrt{x^2 - 3x} + 1$ перепишемо як

$x^2 + t = 2x\sqrt{t^2} + 1$

Ми не знаємо чи від'ємне чи додатнє t. Якщо t дотатнє, то корінь з його квадрату буде просто t, якщо від'ємне -t, бо число з під кореня парного показника завжди додатнє.

Перший випадок $t \geq 0$

1)

$></p><p>Другий випадок <img src=$

2)

$></p><p>За першим випадком знайдемо значення x</p><p>1)</p><p><img src=$

Що не можливо

$x^2 - 3x = (t_2)^2 = (x + 1) ^ 2\\x^2 - 3x = x^2 + 2x + 1\\-3x = 2x + 1\\0 = 5x + 1\\5x = -1\\x = -\frac{1}{5} \\t_2 = x+1 = -\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5} > 0\\t_2 > 0$

Що можливо. Один з коренів рівний $-\frac{1}{5}$

2)

$x^2 - 3x = (t_3)^2 = (-x-1)^2\\x^2 - 3x = x^2 +2x + 1\\x = -\frac{1}{5} \\t_3 = -x -1 = -(-\frac{1}{5}) - 1 =\frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5} < 0\\t_3 < 0$

Що можливо. Але про цей корінь вже відомо.

$x^2 - 3x = (t_4)^2 = (-x+1)^2\\x^2 - 3x = x^2 -2x + 1\\x = -1\\t_4 = -x + 1 = -(-1) + 1 = 2 > 0\\t_4 > 0$

Що не можливо

Отже існує один корінь цього рівняння рівний $-\frac{1}{5}$ або, що то саме, -0.2.

ВІдповідь була перевірена за допомогою системи комп'ютерної алгебри XCAS, тому помилки у відповіді не має.

Answer 2

Для того чтобы решить данное уравнение 2x² - 3x = 2x√(x² - 3x) + 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Перенесите все термины на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение вида 2x² - 3x - 2x√(x² - 3x) - 1 = 0.

Шаг 2: Мы видим, что у нас есть квадратный корень √(x² - 3x), что усложняет решение уравнения. Для упрощения этого, давайте введем новую переменную, скажем, пусть y = √(x² - 3x).

Тогда наше уравнение примет вид 2x² - 3x - 2xy - 1 = 0.

Шаг 3: Теперь мы имеем уравнение только с переменными x и y. Давайте решим его относительно x.

2x² - 3x - 2xy - 1 = 0. (уравнение 1)

Шаг 4: Решим уравнение (уравнение 1) относительно x, используя факторизацию или квадратное уравнение.

2x² - 3x - 2xy - 1 = 0.

2x(x - (3/2 + y)) - 1 = 0.

2x - 2xy - 3x - 1 = 0.

2x(1 - y) - 3(1 + y) = 0.

(2x - 3)(1 - y) = 0.

Таким образом, мы получаем два возможных решения: 1) 2x - 3 = 0, что дает нам x = 3/2. 2) 1 - y = 0, что дает нам y = 1.

Теперь у нас есть два значения: x = 3/2 и y = 1.

Шаг 5: Теперь, когда у нас есть значения x и y, мы можем найти значение переменной x в исходном уравнении, используя y = √(x² - 3x).

y = √(x² - 3x).

1 = √(x² - 3x).

Возводим в квадрат обе части уравнения:

1² = (x² - 3x).

1 = x² - 3x.

x² - 3x - 1 = 0.

Шаг 6: Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного уравнения.

(x - (3/2 + y))(x - (3/2 - y)) = 0.

Таким образом, получаем два возможных решения: 1) x - (3/2 + y) = 0, что дает нам x = 3/2 + y. 2) x - (3/2 - y) = 0, что дает нам x = 3/2 - y.

Применяя значения x = 3/2 и y = 1, получаем два значения x: 1) x = 3/2 + 1 = 5/2. 2) x = 3/2 - 1 = 1/2.

Таким образом, решением данного уравнения являются x = 5/2 и x = 1/2.

Пожалуйста, обратите внимание, что это подробное решение, и включает все необходимые шаги. Если у вас есть вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать.