Question

Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А(2; -1; 3) і В(3; 1; 2) паралельна до вектора ā=(3; -1; 4).

Answer 1

Щоб скласти рівняння площини, яка проходить через дві точки та паралельна до заданого вектора, можна скористатися загальним виглядом рівняння площини:

\[A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) + C \cdot (z - z_0) = 0,\]

де \((x_0, y_0, z_0)\) - координати однієї з точок на площині, а \((A, B, C)\) - компоненти вектора, який є нормаллю до площини.

1. Знайдемо вектор, який є напрямною площини. Для цього віднімемо координати точок \(A\) та \(B\):

\[\vec{AB} = (3 - 2, 1 - (-1), 2 - 3) = (1, 2, -1).\]

2. Так як ми хочемо, щоб площина була паралельна до заданого вектора \(\vec{a} = (3, -1, 4)\), вона також буде паралельна до вектора \(\vec{AB}\). Тобто, вектори \(\vec{AB}\) та \(\vec{a}\) будуть колінеарними. Знайдемо коефіцієнти, на які треба помножити \(\vec{AB}\), щоб отримати \(\vec{a}\):

\[k \cdot \vec{AB} = \vec{a}.\]

Де \(k\) - це коефіцієнт, який ми шукаємо. Зробимо це для кожної компоненти векторів:

\[k \cdot (1, 2, -1) = (3, -1, 4).\]

Отримуємо систему рівнянь:

\[ \begin{cases} k \cdot 1 = 3, \\ k \cdot 2 = -1, \\ k \cdot (-1) = 4. \end{cases} \]

Розв'язавши систему, отримаємо \(k = 3\).

3. Тепер ми знаємо, що вектор \(\vec{AB}\) потрібно помножити на 3, щоб отримати вектор \(\vec{a}\). Тепер можемо скласти рівняння площини. Візьмемо точку \(A\) як точку на площині:

\[x_0 = 2, \quad y_0 = -1, \quad z_0 = 3.\]

Підставимо значення в рівняння площини:

\[1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y + 1) + (-1) \cdot (z - 3) = 0.\]

Після спрощення отримаємо рівняння площини:

\[x + 2y - z = 5.\]

Отже, рівняння площини, яка проходить через точки \(A(2, -1, 3)\) і \(B(3, 1, 2)\) та паралельна до вектора \(\vec{a} = (3, -1, 4)\), є \(x + 2y - z = 5\).