Question

Найдите такие значения k, при котором данное уравнение станет неполным квадратным уравнением. Запишите уравнение при соответствующих значениях k и решите его. а) 2x² + (k-2)x - (k + 6) = 0 б) 2x² - (k + 1)x - 15 + k = 0

Answer 1

Чтобы уравнение стало неполным квадратным, дискриминант должен быть равен нулю. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение (а): \(2x^2 + (k-2)x - (k+6) = 0\)

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\). В данном случае, дискриминант будет:

\[D = (k-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-k-6)\]

Чтобы уравнение стало неполным квадратным, \(D\) должен быть равен нулю:

\[(k-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-k-6) = 0\]

Решим это уравнение для \(k\).

\[(k-2)^2 + 8k + 48 = 0\]

Раскрываем скобки:

\[k^2 - 4k + 4 + 8k + 48 = 0\]

\[k^2 + 4k + 52 = 0\]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант положителен. Таким образом, уравнение (а) не имеет таких значений \(k\), при которых оно становится неполным квадратным.

Уравнение (б): \(2x^2 - (k+1)x - 15 - k = 0\)

Точно так же, дискриминант будет:

\[D = (-k-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(15+k))\]

Чтобы уравнение стало неполным квадратным, \(D\) должен быть равен нулю:

\[(-k-1)^2 - 8(15+k) = 0\]

Решим это уравнение для \(k\).

\[(k+1)^2 - 8k - 120 = 0\]

Раскрываем скобки:

\[k^2 + 2k + 1 - 8k - 120 = 0\]

\[k^2 - 6k - 119 = 0\]

Это уравнение имеет действительные корни, так как дискриминант положителен. Решим его:

\[k = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-119)}}{2(1)}\]

\[k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 476}}{2}\]

\[k = \frac{6 \pm \sqrt{512}}{2}\]

\[k = \frac{6 \pm 16\sqrt{2}}{2}\]

\[k = 3 \pm 8\sqrt{2}\]

Таким образом, уравнение (б) станет неполным квадратным при \(k = 3 + 8\sqrt{2}\) или \(k = 3 - 8\sqrt{2}\).