Question

Y'+2xy=-2x³. y(1)=e¹

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение \(y' + 2xy = -2x^3\) с начальным условием \(y(1) = e\).

Давайте решим это уравнение. Сначала, определим тип уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения:

\[y' + P(x)y = Q(x)\]

где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - функции от \(x\). В данном случае \(P(x) = 2x\) и \(Q(x) = -2x^3\).

Интегрирующий множитель (\(μ(x)\)) для линейного уравнения вида \(y' + P(x)y = Q(x)\) определяется как \(μ(x) = e^{\int P(x)dx}\). В нашем случае:

\[μ(x) = e^{\int 2xdx} = e^{x^2}\]

Умножим обе стороны уравнения на \(μ(x)\):

\[e^{x^2}y' + 2xe^{x^2}y = -2x^3e^{x^2}\]

Теперь заметим, что левая сторона является результатом производной от \((e^{x^2}y)\). Проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[\int e^{x^2}y' + 2xe^{x^2}ydx = \int -2x^3e^{x^2}dx\]

Это даст нам:

\[e^{x^2}y = -\frac{1}{2}e^{x^2}(x^2 + 1) + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования. Теперь, деля обе стороны на \(e^{x^2}\), получаем:

\[y = -\frac{1}{2}(x^2 + 1) + Ce^{-x^2}\]

Теперь используем начальное условие \(y(1) = e\), чтобы найти константу \(C\):

\[e = -\frac{1}{2}(1 + 1) + Ce^{-1}\]

\[e = -1 + Ce^{-1}\]

\[C = e + 1\]

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

\[y = -\frac{1}{2}(x^2 + 1) + (e + 1)e^{-x^2}\]