Question

Решение уравнения 3sinx + 4cosx = a^2 - 4a + 9 (а; х). сколько решений имеет пара (а; х)? Где: a€ [0; 2023] и x€ [0;2023π].

Answer 1

Для решения уравнения 3sin(x) + 4cos(x) = a^2 - 4a + 9, где a находится в интервале [0, 2023] и x в интервале [0, 2023π], давайте начнем с преобразования данного уравнения с использованием тригонометрических идентичностей.

Сначала мы можем представить sin(x) и cos(x) в виде функций синуса и косинуса одного и того же угла φ: sin(x) = sin(φ) cos(x) = cos(φ)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом: 3sin(φ) + 4cos(φ) = a^2 - 4a + 9

Затем мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью для sin(φ + θ): sin(φ + θ) = sin(φ)cos(θ) + cos(φ)sin(θ)

Приравниваем sin(φ) и cos(φ) к коэффициентам у sin(φ + θ) в нашем уравнении: 3sin(φ) + 4cos(φ) = 3(sin(φ)cos(θ) + cos(φ)sin(θ))

Теперь мы видим, что левая и правая части уравнения содержат sin(φ) и cos(φ). Мы можем сгруппировать их: sin(φ)(3 - 3cos(θ)) + cos(φ)(4 - 4sin(θ)) = a^2 - 4a + 9

Теперь мы можем представить это уравнение в виде: sin(φ)(3 - 3cos(θ)) + cos(φ)(4 - 4sin(θ)) = a^2 - 4a + 9

Мы видим, что это уравнение можно представить в виде уравнения на плоскости (sin(φ), cos(φ)) при фиксированных значениях a и θ.

Следовательно, количество решений зависит от того, сколько раз график уравнения пересечет окружность с радиусом r = √(a^2 - 4a + 9) в плоскости (sin(φ), cos(φ)).

Теперь, поскольку a ∈ [0, 2023], то наименьшее значение r будет при a = 0, а наибольшее при a = 2023. Поэтому мы можем рассмотреть два случая:

1. a = 0: В этом случае уравнение примет вид: sin(φ)(3 - 3cos(θ)) + cos(φ)(4 - 4sin(θ)) = 9

Интересно, что в данном случае r = √9 = 3, и это значение r будет фиксированным. Таким образом, график уравнения будет пересекать окружность с радиусом 3 в плоскости (sin(φ), cos(φ)).

2. a = 2023: В этом случае уравнение примет вид: sin(φ)(3 - 3cos(θ)) + cos(φ)(4 - 4sin(θ)) = 2023^2 - 4 * 2023 + 9

Здесь r будет равно √(2023^2 - 4 * 2023 + 9), что больше 2023.

Таким образом, для каждого значения a из интервала [0, 2023], график уравнения будет пересекать окружность либо 0 раз (если r < 3), либо более 1 раза (если r ≥ 3). Количество решений пары (a, x) будет равно количеству раз, которое график пересекает окружность в плоскости (sin(φ), cos(φ)).