Question

Помогите пожалуйста даю 50 баллов!!! 4. На дошці записано вираз * п * n² *n3 *n4 *n5 * n6 * n7 * n8. Андрiйко та Оксанка грають у таку гру. Вони роблять ходи по черзі. За один хід дозволяється замінити один знак «*» на знак «+» або «-». Оксанка прагне, щоб отриманий після восьми ходів вираз ділився без остачі на 6 для кожного натурального п. Андрійко ходить першим. Доведіть, що Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу за умови будь-яких дій Андрійка.​

Answer 1

Ответ:

Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу за будь-яких дій Андрійка.

Пошаговое объяснение:

Доведемо, що Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу.

Зауважимо, що якщо вираз p * n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸ ділиться без остачі на 6, то кожен з множників p, n², n³, n⁴, n⁵, n⁶, n⁷, n⁸ також повинен ділитися на 6 без остачі.

Припустимо, що Оксанка завжди робить такий хід, щоб замінити знак "*" на знак "+". Тоді після першого ходу Оксанки вираз буде мати вигляд p + n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸.

Знаючи, що p повинно ділитися на 6 без остачі, ми можемо записати p = 6k, де k є натуральним числом. Підставимо це у вираз:

6k + n² * n³ * n⁴ * n⁵ * n⁶ * n⁷ * n⁸.

Звернімо увагу, що кожен з множників n², n³, n⁴, n⁵, n⁶, n⁷, n⁸ також повинен ділитися на 6 без остачі. Тому ми можемо записати кожен з цих множників у вигляді 6m, де m є натуральним числом. Підставимо це у вираз:

6k + (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m) * (6m).

Зведемо це до спільного множника:

6k + (6^7) * (m^8).

Отримали вираз, що складається з двох доданків. Перший доданок 6k ділиться на 6 без остачі, оскільки містить множник 6. Другий доданок (6^7) * (m^8) також ділиться на 6 без остачі, оскільки (6^7) містить множник 6.

Таким чином, після кожного ходу Оксанки вираз залишається дільним на 6 без остачі. Оскільки Оксанка завжди може замінити "*" на "+", вона завжди може забезпечити, що після восьми ходів отриманий вираз ділитиметься на 6 без остачі.

Answer 2

Давайте розглянемо вираз та умову гри уважно. Вираз на дошці має вигляд:

\[p \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot n^4 \cdot n^5 \cdot n^6 \cdot n^7 \cdot n^8\]

Андрійко та Оксанка роблять ходи, замінюючи один знак "*" на "+" або "-". Мета Оксанки полягає в тому, щоб після восьми ходів отримати вираз, який ділиться без остачі на 6 для будь-якого натурального \(p\).

Для того, щоб довести, що Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу, розглянемо властивості ділення на 6. Якщо число ділиться на 6, то воно ділиться і на 2, і на 3. Таким чином, ми можемо розглядати лише залишок від ділення на 2 та 3.

Тепер подивимося на вираз, якщо розділити його на \(n\) частин, тобто:

\[p \cdot n^{2+3+4+5+6+7+8} = p \cdot n^{35}\]

Оскільки ми хочемо, щоб після 8 ходів вираз ділився на \(n\) без остачі, то ми хочемо, щоб степінь \(n\) була кратною 8 (оскільки 8 ходів).

\[35 \equiv 3 \pmod 8\]

Отже, ми бачимо, що 35 не є кратним 8. Проте, ми можемо зробити хід Оксанки, яка замінить один із множників \(n\) на \(n^3\):

\[p \cdot n^{2+3+4+3+6+7+8} = p \cdot n^{33}\]

Тепер ми отримали степінь, яка ділиться на 8, тобто 33 ≡ 1 (mod 8). Це означає, що залишок від ділення 33 на 8 - це 1, а отже, після 8 ходів Оксанки вираз ділиться на \(n\) без остачі.

Отже, Оксанка завжди може забезпечити собі перемогу, знаючи цю стратегію, незалежно від дій Андрійка.