Question

Четырехугольник ABCD – параллелограмм, <(угол) B = 145градусов. Найдите угол между векторами CD и DA

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В параллелограмме ABCD, углы напротив друг друга равны. Таким образом, угол D также равен 145 градусов.

Теперь, векторы CD и DA образуют угол, который является дополнением до угла D. Это значит, что угол между векторами CD и DA равен 180 - 145 = 35 градусов.

Таким образом, угол между векторами CD и DA составляет 35 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между векторами CD и DA в параллелограмме ABCD, давайте воспользуемся определением скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) и \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \) в двумерном пространстве можно выразить формулой:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \]

Также, скалярное произведение векторов связано с косинусом угла между ними следующим образом:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \cdot |\mathbf{v}| \cdot \cos \theta \]

где \( |\mathbf{u}| \) и \( |\mathbf{v}| \) - длины векторов, а \( \theta \) - угол между векторами.

Итак, если мы найдем скалярное произведение векторов CD и DA и используем его связь с косинусом угла, мы сможем найти угол \( \theta \).

Вектор CD можно представить как \( \mathbf{CD} = \mathbf{D} - \mathbf{C} \), где \(\mathbf{D} (x_1, y_1)\) и \(\mathbf{C} (x_2, y_2)\).

Также вектор DA можно представить как \( \mathbf{DA} = \mathbf{A} - \mathbf{D} \), где \(\mathbf{A} (x_3, y_3)\).

Теперь скалярное произведение векторов CD и DA:

\[ \mathbf{CD} \cdot \mathbf{DA} = (\mathbf{D} - \mathbf{C}) \cdot (\mathbf{A} - \mathbf{D}) \]

Раскрываем скобки:

\[ \mathbf{CD} \cdot \mathbf{DA} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{A} - \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} - \mathbf{C} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} \]

Теперь подставляем координаты точек:

\[ \mathbf{CD} \cdot \mathbf{DA} = x_1 \cdot x_3 + y_1 \cdot y_3 - (x_1^2 + y_1^2) - x_2 \cdot x_3 - y_2 \cdot y_3 + x_2 \cdot x_1 + y_2 \cdot y_1 \]

Теперь, используя формулу скалярного произведения и зная, что \( \mathbf{CD} \cdot \mathbf{DA} = |\mathbf{CD}| \cdot |\mathbf{DA}| \cdot \cos \theta \), мы можем найти косинус угла \( \theta \).

\[ |\mathbf{CD}| \cdot |\mathbf{DA}| \cdot \cos \theta = x_1 \cdot x_3 + y_1 \cdot y_3 - (x_1^2 + y_1^2) - x_2 \cdot x_3 - y_2 \cdot y_3 + x_2 \cdot x_1 + y_2 \cdot y_1 \]

Теперь мы можем решить уравнение для \( \cos \theta \). После этого, найдя обратный косинус, мы получим значение угла \( \theta \).