Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями: 1) y = 1-x², y = - x-1, x=1, x=2. 2) y=x²-x-5 i y = x - 2.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для фігури, обмеженої лініями y=1−x2y=1−x2, y=−x−1y=−x−1, x=1x=1та x=2x=2:Спершу знайдемо точки перетину y=1−x2y=1−x2та y=−x−1y=−x−1: 1−x2=−x−11−x2=−x−1x2−x−2=0x2−x−2=0Розв'яжемо квадратне рівняння для xx:x=−1,x=2x=−1,x=2Тепер знайдемо значення yyу цих точках: y1=1−(−1)2=0y1​=1−(−1)2=0y2=1−22=−3y2​=1−22=−3Отже, ми маємо дві точки перетину: (−1,0)(−1,0)та (2,−3)(2,−3).Тепер знайдемо площу фігури, яка обмежена цими лініями та границями. Це буде площа під криволінійним сегментом y=1−x2y=1−x2від −1−1до 22та площа трапеції, обмеженої лініями x=1x=1та x=2x=2.Площа під кривою y=1−x2y=1−x2від −1−1до 22обчислюється як визначений інтеграл від −1−1до 22з функції 1−x21−x2:S1=∫−12(1−x2) dxS1​=∫−12​(1−x2)dxПлоща трапеції обчислюється як 12×(x2−x1)×(y1+y2)21​×(x2​−x1​)×(y1​+y2​):S2=12×(2−1)×(0+(−3))S2​=21​×(2−1)×(0+(−3))Отже, загальна площа фігури буде сумою S1S1​та S2S2​:Stotal=S1+S2Stotal​=S1​+S2​

Для фігури, обмеженої лініями y=x2−x−5y=x2−x−5та y=x−2y=x−2:Спочатку знайдемо точки перетину y=x2−x−5y=x2−x−5та y=x−2y=x−2. Розв'яжемо систему рівнянь: x2−x−5=x−2x2−x−5=x−2x2−2x−3=0x2−2x−3=0Розв'яжемо квадратне рівняння для xx:x=−1,x=3x=−1,x=3Тепер знайдемо значення yyу цих точках: y1=(−1)2−(−1)−5=−5y1​=(−1)2−(−1)−5=−5y2=32−3−5=1y2​=32−3−5=1Отже, ми маємо дві точки перетину: (−1,−5)(−1,−5)та (3,1)(3,1).Тепер знайдемо площу фігури, яка обмежена цими лініями та границями. Це буде площа під криволінійним сегментом y=x2−x−5y=x2−x−5від −1−1до 33та площа трапеції, обмеженої лініями x=−1x=−1та x=3x=3.Площа під кривою y=x2−x−5y=x2−x−5від −1−1до 33обчислюється як визначений інтеграл від −1−1до 33з функції x2−x−5x2−x−5:S1​=∫−13​(x2−x−5)dxПлоща трапеції обчислюється як 12×(x2−x1)×(y1+y2)21​×(x2​−x1​)×(y1​+y2​):S2=12×(3−(−1))×((−5)+1)S2​=21​×(3−(−1))×((−5)+1)Отже, загальна площа фігури буде сумою S1S1​та S2S2​:Stotal=S1+S2Stotal​=S1​+S2​

Answer 2

Перше завдання: Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = 1 - x², y = -x - 1, x = 1 та x = 2.

Креслення графіків:

Почнемо зі спостереження графіків функцій, щоб краще розуміти область, обмежену цими лініями.

Функція першої лінії, y = 1 - x², є параболою, яка відкрита донизу та має вершину в точці (0, 1).

Функція другої лінії, y = -x - 1, є прямою лінією зі спадною нахилом та перетинає ось y в точці (0, -1).

Лінії x = 1 та x = 2 є вертикальними лініями, які перетинають графіки функцій у відповідних точках.

Знаходження площі:

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, ми можемо використовувати метод інтегрування.

Спершу знайдемо точки перетину між цими лініями. Для цього вирішимо систему рівнянь:

y = 1 - x² y = -x - 1

Розв'язуючи цю систему, отримуємо x = -1 та x = 2.

Тепер, ми можемо побудувати відповідні інтеграли для обчислення площі фігури. Зауважимо, що графік y = 1 - x² знаходиться нижче графіку y = -x - 1 в інтервалі [-1, 2]. Тому, ми можемо використовувати інтеграл для обчислення площі фігури:

\[S = \int_{-1}^{2} ((-x - 1) - (1 - x^2)) dx\]

Інтегруючи це вираз, отримуємо:

\[S = \int_{-1}^{2} (-x - 1 - 1 + x^2) dx\] \[S = \int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) dx\]

Вираховуючи цей інтеграл, отримуємо:

\[S = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x]_{-1}^{2}\] \[S = (\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) - (\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2 \cdot (-1))\] \[S = (\frac{8}{3} - 2 - 4) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2)\] \[S = \frac{8}{3} - 2 - 4 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\] \[S = -\frac{14}{6}\] \[S = -\frac{7}{3}\]

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 1 - x², y = -x - 1, x = 1 та x = 2, дорівнює -7/3.

---

Друге завдання: Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x² - x - 5 та y = x - 2.

Креслення графіків:

Почнемо зі спостереження графіків функцій, щоб краще розуміти область, обмежену цими лініями.

Функція першої лінії, y = x² - x - 5, є параболою, яка відкрита догори та має вершину в точці (0, -5).

Функція другої лінії, y = x - 2, є прямою лінією зі спадною нахилом та перетинає ось y в точці (0, -2).

Знаходження площі:

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, знову використаємо метод інтегрування.

Спочатку знайдемо точки перетину між цими лініями. Для цього вирішимо систему рівнянь:

y = x² - x - 5 y = x - 2

Розв'язуючи цю систему, отримаємо x = -1 та x = 3.

Тепер, ми можемо побудувати відповідні інтеграли для обчислення площі фігури. Зауважимо, що графік y = x² - x - 5 знаходиться нижче графіку y = x - 2 в інтервалі [-1, 3]. Тому, ми можемо використовувати інтеграл для обчислення площі фігури:

\[S = \int_{-1}^{3} ((x - 2) - (x^2 - x - 5)) dx\]

Інтегруючи цей вираз, отримуємо:

\[S = \int_{-1}^{3} (x - 2 - x^2 + x + 5) dx\] \[S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx\]

Вираховуючи цей інтеграл, отримуємо:

\[S = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3}\] \[S = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1))\] \[S = (-9 + 9 + 9) - (-\frac{1}{3} + 1 - 3)\] \[S = 18 - (-\frac{1}{3} - 2)\] \[S = 18 + \frac{1}{3} + 2\] \[S = \frac{55}{3}\]

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x² - x - 5 та y = x - 2, дорівнює 55/3.