Question

По колу вписали 2003 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.

Answer 1

Ответ:

Маємо коло з 2003 натуральних чисел. Щоб довести, що знайдуться два сусідні числа, сума яких є парною, скористаємося протиріччям.

Розглянемо найперше число в колі. Якщо воно парне, то його сусід (наступне за ним) теж парне, і їхня сума буде парною. Якщо ж перше число непарне, то його сусід буде парним, і знову ж таки, їхня сума буде парною.

Отже, незалежно від того, яким є перше число в колі (парним чи непарним), завжди знайдеться сусіднє число, сума з яким є парною. Таким чином, протиріччя немає, і твердження вірне.

Answer 2

Це завдання можна розв'язати за допомогою принципу Дирихле.

Розглянемо 2003 натуральних числа, вписаних по колу. Припустимо, що всі числа є непарними або всі числа є парними.

Якщо всі числа є непарними, то їх сума також буде непарною. Оскільки суми двох непарних чисел ніколи не можуть бути парними, то цей варіант неможливий.

Тому розглянемо випадок, коли всі числа є парними. В такому випадку сума двох чисел завжди буде парною. Таким чином, всі парні числа в порядку їх вписування залишаються парними підсумковими.

Отже, за принципом Дирихле, якщо всі натуральні числа вписані по колу, то обов'язково знайдуться два сусідні числа, сума яких є парною.