Question

Трикутник розбили на 25 трикутників. Які утворюють трикутну гратку (див. мал.). У комір цієї гратки розставили натуральні числа від 1 до 25, по одному числу до кожної комірки. Доведіть, що сума якихось двох чисел, які стоять у сусідніх (таких, що мають спільну сторону) комірках, є парною.​

Answer 1

Ответ:

Якщо розфарбувати трикутник у шаховому порядку, то суміжні комірки будуть різного кольору, сума чисел у сусідніх комірках непарна тоді і тільки тоді, коли в них стоять числа різної парності. Таким чином, якби всі суми сусідніх чисел були непарними, то всі парні числа стояли би в комірках одного кольору, а всі непарні - у комірках іншого кольору. Але комірок одного кольору 10, а іншого 15. Із чисел від 1 до 25 парних буде 12, а непарних 13.Отже, таке розміщення неможливо..

Answer 2

Припустимо, що сусідні комірки мають номери (a, b), (c, d). Оскільки у трікутній гратці є 25 комірок, то можна визначити, що сусідні комірки мають спільну сторону, якщо вони розташовані одна поряд з другою в трикутному ряді. Також відомо, що в кожну комірку розставлено натуральне число від 1 до 25.

Нехай х - сума чисел, які стоять у комірках (a, b) та (c, d). Тоді х = a + b + c + d (1).

Сума всіх чисел, розміщених в комірках гратки, дорівнює 1 + 2 + 3 + ... + 25 = (1 + 25) / 2 * 25 = 325.

Замість сумування всіх чисел окремо можна порахувати суму всіх можливих сусідніх комірок, у яких два числа стоять в таких комірках, що мають спільну сторону.

Оскільки трикутник розбитий на 25 менших трикутників, то спільних сторін в гратці існує 24. Тобто, кожна комірка має рівно двох сусідів.

Оскільки кожна сусідня пара комірок має спільну сторону, то їх числа беруться участь у сумуванні двічі. Тому сума всіх можливих сусідніх комірок буде рівна: 2 * х.

Оскільки сума всіх чисел у гратці дорівнює 325, а кожа комірка бере участь у суміванні двічі, то 2 * х = 325.

Оскільки х це сума двох чисел, то вона є парною, якщо сума цих двох чисел парна. Отже, сума двох чисел, які стоять у сусідніх комірках, завжди буде парною.