Question

Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АB=3

Answer 1

Ответ:

Для побудови перерізу тетраедра ABCD утворимо прямокутний трикутник ADV, де V - середина ребра BC. Оскільки AB = 3, то AV = AB/2 = 1.5.

Позначимо через M середину ребра AC, а через N - середину ребра AB. Оскільки AV = 1.5, то VM = 1.5 (бо M - середина відрізка AC). Оскільки AN = NB (N - середина відрізка AB), то ND = AN = 1.5. Також позначимо кут між площиною перерізу та основою ABCD як α.

Розглянемо прямокутний трикутник ADV. Ми вже знаємо, що AV = 1.5 і VM = 1.5. Також, оскільки M - середина ребра AC, то AM = MC = 1.5.

Враховуючи те, що кут VAD = 90° (бо V - середина BC), ми можемо використати тригонометричні функції для обчислення інших сторін та кутів:

Сторона DV:

DV = AV * tan(VAD) = 1.5 * tan(90°) = 1.5

Сторона DN:

DN = DV * cos(α) = 1.5 * cos(α)

Сторона DM:

DM = DV * sin(α) = 1.5 * sin(α)

Тепер ми можемо обчислити периметр та площу трикутника DMN (перерізу тетраедра ABCD):

Периметр:

=

+

+

=

1.5

⋅

sin

⁡

(

)

+

1.5

⋅

cos

⁡

(

)

+

1.5

P=DM+DN+MN=1.5⋅sin(α)+1.5⋅cos(α)+1.5

Площа:

=

1

2

⋅

⋅

=

1

2

⋅

1.5

⋅

cos

⁡

(

)

⋅

1.5

⋅

sin

⁡

(

)

S=

2

1

⋅DN⋅DM=

2

1

⋅1.5⋅cos(α)⋅1.5⋅sin(α)

Необхідно врахувати, що

0

≤

≤

2

0≤α≤

2

π

, оскільки кут між площиною перерізу та основою ABCD є гострим кутом.

Для обчислення конкретних значень потрібно знати значення кута α.

Answer 2

Перше, що потрібно зробити - це побудувати переріз правильного тетраедра АВСd площиною, яка проходить через вершину d і середини ребер АВ та АС.

Оскільки тетраедр є правильним, то ми знаємо, що всі його ребра та грані мають однакову довжину.

Для початку побудуємо трикутник АВС, який є площиною основи тетраедра. Знайдемо середини ребер АВ та АС. Оскільки Аb = 3, то півдовжини цього ребра становитимуть 3/2.

Нам потрібно знайти середину ребра АВ. Для цього побудуємо відрізок, який з'єднує початок ребра АВ з кінцем ребра АВ і поділимо його на дві рівні частини. Знайдемо середину цього відрізка.

Те ж саме ми робимо і з ребром АС - побудовуємо відрізок, який з'єднує початок ребра АС з кінцем ребра АС і поділимо його на дві рівні частини. Знайдемо середину цього відрізка.

Після цього, ми з'єднуємо ці дві знайдені точки середин ребер АВ і АС з вершиною d. Отримаємо переріз тетраедра площиною, яка проходить через вершину d і середини ребер АВ та АС.

Тепер, щоб знайти периметр цього перерізу, нам потрібно обчислити довжину його сторін. Оскільки ребра тетраедра мають однакову довжину, то сторони перерізу також мають однакову довжину.

Для цього, ми можемо виміряти довжину однієї сторони перерізу і подвоїти її, оскільки у нас є дві сторони такого ж розміру. Якщо довжина однієї сторони перерізу становить "х", то периметр цього перерізу буде 2х + 2х = 4х.

Щоб знайти площу перерізу, нам потрібно знайти площу трикутника, утвореного сторонами перерізу. Вважаючи, що довжина однієї сторони перерізу становить "х", ми можемо використовувати формулу площі рівнобедреного трикутника: S = (х²√3)/4.

Таким чином, периметр цього перерізу складатиме 4х, а площа - (х²√3)/4. Значення "х" ми можемо знайти підставивши значення Ab = 3 у формулу довжини половини ребра, і отримаємо Ab/2 = 3/2 = 1,5. Це значення треба підставити в формули для периметру і площі перерізу.