Question

На ребрі вс тетраедра DABC позначили точку Е так, що - ВЕ: ЕС = 2:1. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка про-ходить через точку Е паралельно прямим ABі CD. Знайдіть периметр перерізу, якщо AB == 18 см, сD = 12 см.​

Answer 1

В сечении получаем параллелограмм. Стороны параллелограмма найдем используя признаки подобия треугольников DBC и HBE; ACB и FCE:

$\displaystyle\frac{CD}{HE}=\frac{3}{2}\to HE=\frac{2*CD}{3}=8\\\\\frac{AB}{GH}=3\to GH=\frac{AB}{3}=6\\\\P=2*(GH+HE)=28$

Answer 2

Щоб побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку Е паралельно прямим AB і CD, спочатку потрібно знайти координати точки Е.

Оскільки ВЕ:ЕС = 2:1, ми можемо розділити відрізок BC на три рівні частини. Нехай точка F розташована на відрізку BC так, що BF:FC = 1:1. Тоді EF:FC також буде мати співвідношення 2:1. Застосуємо це співвідношення для знаходження координат точки Е.

Нехай A(0, 0, 0), B(18, 0, 0), С(6, 6√3, 0), D(6, 2√3, 12) - це координати вершин тетраедра DABC.

Знайдемо координати точки F: BF:FC = 1:1 Точка F знаходиться на відрізку BC, тому координата Fz дорівнює 0. Bx:FC = 1:1 18:FC = 1:1 FC = 9 Cx:FC = 1:1 6:FC = 1:1 FC = 6 Таким чином, координати точки F є F(12, 3√3, 0).

Знайдемо координати точки E: EF:FC = 2:1 Точка E знаходиться на відрізку FC, тому координата Ez дорівнює 0. Ex:FC = 2:1 Ex:6 = 2:1 Ex = 12/6 = 2 Таким чином, координати точки E є E(2, 0, 0).

Ми знаходимо перпендикуляр до площини ABC, щоб побудувати переріз. Це можна зробити, обчисливши векторне добуток векторів AB і AC. Векторний добуток дає нам нормаль до площини.

AB = B - A = (18, 0, 0) - (0, 0, 0) = (18, 0, 0) AC = C - A = (6, 6√3, 0) - (0, 0, 0) = (6, 6√3, 0)

Тоді векторний добуток AB і AC буде: N = AB × AC = (18, 0, 0) × (6, 6√3, 0)

Обчислимо векторний добуток: N = (0, 0, 18