Question

Знайти проекцію вектора а (1; -4; 8) на вектор b, якщо кут між векторамиa і b дорівнює π\4.​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження проекції вектора a на вектор b, використовується формула:

Проекція а на b = (a • b) / |b|

Де (a • b) - скалярний добуток векторів a і b, а |b| - модуль вектора b.

Спочатку знайдемо скалярний добуток векторів a і b:

a • b = |a| * |b| * cos(θ)

Де θ - кут між векторами a і b.

У нашому випадку, кут між векторами a і b дорівнює π/4, тому:

cos(π/4) = √2/2

Тепер можемо обчислити скалярний добуток:

a • b = |a| * |b| * cos(π/4) = √(1^2 + (-4)^2 + 8^2) * √(1^2 + 1^2 + 0^2) * √2/2 = √(1 + 16 + 64) * √2/2 = √81 * √2/2 = 9 * √2/2 = 9√2/2

Тепер знаходимо модуль вектора b:

|b| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √(1 + 1 + 0) = √2

Тепер можемо обчислити проекцію вектора a на вектор b:

Проекція а на b = (a • b) / |b| = (9√2/2) / √2 = (9/2) * (√2/√2) = 9/2

Отже, проекція вектора a (1; -4; 8) на вектор b дорівнює 9/2.

Answer 2

Щоб знайти проекцію вектора а на вектор b, спочатку нам потрібно знайти вектор проекції, який буде паралельний вектору b. Для цього ми використовуємо формулу проекції:

Проекція вектора а на вектор b = (а • b) / |b|

де (а • b) є скалярним добутком векторів а і b, а |b| є довжиною вектору b.

Отже, давайте спочатку знайдемо скалярний добуток векторів а і b:

а • b = 1 * 1 + (-4) * 0 + 8 * 1 = 1 + 0 + 8 = 9

Тепер нам потрібно знайти довжину вектору b:

|b| = √(1^2 + 0^2 + 1^2) = √(1 + 0 + 1) = √2

Тепер ми можемо обчислити проекцію вектора а на вектор b:

Проекція вектора а на вектор b = (а • b) / |b| = 9 / √2

Але у нас є ще один параметр в задачі - кут між векторами а і b. Задано, що цей кут дорівнює π/4.

Для знаходження остаточної відповіді, нам потрібно помножити проекцію вектора а на вектор b на косинус кута між векторами а і b. Формула для цього виглядає так:

Проекція вектора а на вектор b * cos(π/4)

Тепер застосуємо цю формулу:

Остаточна відповідь:

Проекція вектора а на вектор b = (9 / √2) * cos(π/4)