Question

Помогите решить пожалуйста 20 баллов Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, а основание равно 8. Найдите радиус r вписанной окружности. В ответ запишите r √21.

Answer 1

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник ищем по формуле: 
r=$\sqrt{ \frac{(p-a)(p-а)(p-c)}{p} }$
где p-полупериметр
r=$\sqrt{ \frac{4*4*6}{14} } ; r* \sqrt{21} =12.$

Answer 2

Чтобы найти радиус вписанной окружности, рассмотрим свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны (AB и AC) равны между собой. По условию задачи, боковые стороны треугольника равны 10.

Также известна длина основания треугольника (BC), которая равна 8.

Найдем высоту треугольника (h). Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота.

Подставляя известные значения, получим: S = (1/2) * 8 * h.

Так как треугольник равнобедренный, то высота треугольника является биссектрисой угла при основании. То есть, она делит основание на две равные части.

Теперь разделим основание треугольника пополам, чтобы получить длину меньшего отрезка (BD).

BD = BC / 2 = 8 / 2 = 4.

Теперь у нас есть две стороны (4) и гипотенуза треугольника (10).

Воспользуемся известной формулой для радиуса вписанной окружности, который связан с площадью треугольника: r = S / p, где p - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона: S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр.

Выразим площадь через радиус: S = r * p.

Теперь мы имеем два уравнения:

S = (1/2) * 8 * h, S = r * p.

Подставим выражение для площади из первого уравнения во второе:

(1/2) * 8 * h = r * p.

Распишем полупериметр треугольника через длины сторон:

p = (4 + 4 + 10) / 2 = 9.

Теперь мы можем записать уравнение:

(1/2) * 8 * h = r * 9.

Упростим:

4h = 9r.

Выразим радиус:

r = (4h) / 9.

Теперь найдем значение h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания (BD), биссектрисой (h) и радиусом вписанной окружности (r).

r^2 = (h^2) + (BD^2).

Подставим известные значения:

r^2 = (h^2) + (4^2).

r^2 = h^2 + 16.

Выразим h через r:

h^2 = r^2 - 16.

h = sqrt(r^2 - 16).

Теперь можем выразить радиус r:

r = (4h) / 9 = (4 * sqrt(r^2 - 16)) / 9.

Решим это уравнение:

9r = 4 * sqrt(r^2 - 16).

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:

81r^2 = 16 * (r^2 - 16).

Раскроем скобки:

81r^2 = 16r^2 - 256.

Перенесем все в одну сторону:

81r^2 - 16r^2 = -256.

Упростим:

65r^2 = -256.

Так как радиус не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет реальных корней.

Таким образом, ошибочно было записано решение в формате r√21, так как радиус не может быть представлен в данной форме. В данной задаче радиус вписанной окружности не определен.