Question

Найдите значение выражения a^3+3ab+b^3, если a+b=1

Answer 1

Ответ:

$1$

Пошаговое объяснение:

$(a+b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\\\(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\\\a+b=1\ \ \ |()^3\\\\(a+b)^3=1\\\\a^3+b^3+3ab(a+b)=1\\\\a^3+b^3+3ab=1$

Answer 2

Для нахождения значения выражения a^3 + 3ab + b^3 при условии, что a + b = 1, мы можем воспользоваться биномом Ньютона для куба суммы двух чисел. Бином Ньютона для куба (a + b)^3 можно записать следующим образом:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

С учетом того, что a + b = 1, мы можем заменить (a + b) в данном выражении на 1:

(1)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Теперь у нас есть уравнение:

1 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Теперь давайте рассмотрим исходное выражение a^3 + 3ab + b^3. Мы видим, что оно очень похоже на наше уравнение, но у нас есть дополнительный член 3ab. Мы можем выразить его из уравнения:

3ab = 1 - a^3 - 3a^2b - b^3

Теперь мы можем заменить 3ab в исходном выражении:

a^3 + 3ab + b^3 = a^3 + (1 - a^3 - 3a^2b - b^3) + b^3

Теперь упростим это выражение:

a^3 + 1 - a^3 - 3a^2b - b^3 + b^3

Заметьте, что a^3 и -a^3, а также b^3 и -b^3 сокращаются:

1 - 3a^2b

Таким образом, значение выражения a^3 + 3ab + b^3 при условии, что a + b = 1, равно 1 - 3a^2b.